Matemáticas 8º y 9º

MAURICIO MUÑOZ MATEMÁTICO FÍSICO UNIVALLE

Números Irracionales

Definición: Los números irracionales son aquellos que no pueden ser escritos en forma fraccionaria, por ejemplo: los números decimales infinitos no-periódicos, raíces no exactas y algunas constantes.

El conjunto de los números Irracionales se simboliza con la letra I.

El número irracional más conocido es $\pi$ , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

$\pi=3,141592653589\cdots$

Entre los números irracionales tenemos como ejemplo algunas raíces cuadradas, como por ejemplo: $\sqrt{2}=1,41421356237\cdots$ que tiene infinitos decimales de manera que no existe ninguna secuencia de ellos que se repitan.

De donde deducimos que raíz cuadrada de 2 está entre 1 y 2. Es decir

1 < raíz de dos > 2 (raíz de dos es mayor que uno y menor a dos)

1 y 2 son valores aproximados a raíz de dos en unidades.

Si dividimos el segmento de extremos 1 y 2 en 10 partes iguales , podemos aproximar su valor a décimas como se ve en la siguiente tabla.

recta

Números decimales	Cuadrados
1.1	1.21
1.2	1.44
1.3	1.69
1.4	1.96
1.5	2.25

Los valores en décimas mas próximos a raiz de 2 son 1.4 y 1.5, porque sus correspondientes cuadrados están mas próximos a 2.

raiz de dos está entre 1.4 y 1.5

En matemáticas se dice : raíz de 2 mayor a 1.4 y menor a 1.5

Deducimos que 1.4 es una aproximación por defecto y 1.5 es una aproximación por exceso a raíz cuadrada de 2

Igualmente se puede hacer para centésimas, milésimas, diezmilésimas....

El video muestra una explicación de los números irracionales y otros tipos de números:

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=uGaFiG5x3P0

Los irracionales y la recta numérica

Localizaremos en la recta numérica, puntos correspondientes a raices cuadradas de números naturales

la extracción de la raíz cuadrada puede dar lugar a números irracionales cuando los números a los que se les extrae la raiz no son cuadrados perfectos,.

Para recordar: los números naturales como 1,4,9,16,25, son cuadrados perfectos ya que

12 = 1
22 = 4
32 = 9 y así sucesivamente.

con base en lo anterior y según las lecciones vistas, podemos afirmar que la extracción de la raíz cuadrada puede dar lugar a números irracionales cuando los números a los que se les extrae la raíz no son cuadrados perfectos.

$\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ hasta $\sqrt{n}$

donde n es un número natural que no es cuadrado perfecto son números irracionales

Otros números irracionales son aquellas raíces cúbicas de un númeo natural n que no es un cubo perfecto $\sqrt[3]{2};\,\sqrt[3]{3};\,\sqrt[3]{4};\,\sqrt[3]{5};\ldots;\,\sqrt[3]{n}$ , donde n es un número natural que no es cubo perfecto, son números irracionales.

En términos generales, si $a$ es un número natural que no es la enésima potencia de otro número natural , entonces $\sqrt[n]{a}$ es un número irracional.

Por ejemplo: $\sqrt[5]{2};\,\sqrt[6]{12};\,\sqrt[7]{25}$ , son números irracionales.

Además, los opuestos a los números irracionales positivos también son números irracionales, como por ejemplo: $-\sqrt{2};\, -\sqrt{5};\, -\sqrt[3]{6};\,\sqrt[3]{10}$ .

Al igual que los números racionales, a los números irracionales les corresponde un punto en la recta númerica. La manera más usual de ubicarlos es mediante construcciones geométricas.

Veamos como se puede representar $\sqrt{2}$

Hay que tener claro que $\sqrt{2}=1.414213562$ ..., es decir, $1<\sqrt{2}<2$

Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su diagonal comprendemos esto:

teorema de Pitágoras:

$x^2=1^2+1^2=2\atop\LARGE x=\sqrt{2}$
Entonces: $1<\sqrt{2}<2$

raiz de dos

Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente $\sqrt{2}$ en la recta numérica. Sabemos que $\sqrt{2}$ es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.

En el siguiente video se muestra la representación gráfica de $\sqrt{2}$ en la recta numérica:

Fuente:https://www.youtube.com/watch?v=bwusbiSesL4

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Es una herramienta para anotar números enteros o números decimales, mediante potencias de 10, esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños.

La notación científica tiene tres partes:

Una parte entera de una sola cifra
Las otras cifras significativas como la parte decimal
Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

$45625000=4.5625 \times 10^7$

RECORDEMOS→

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

De esta definición obtenemos las siguientes propiedades, llamadas leyes de los exponentes, que nos permitirán simplificar expresiones con exponentes.

Si $a,\, b\in\mathbb{R}\, y\, m,\, n\in\mathbb{Z}$ tenemos:

1. $\Huge a^n*a^m=a^{n+m}$

2. $\Huge (a^n)^m=a^{n*m}$

3. $\Huge (a*b)^m=a^m*b^m$

4. $\Huge \frac{a^m}{a^n}=\displaystyle \left\{ {a^{m-n}\,\textrm{ si m>n} \atop 1\;\,\,\,\,\,\,\,\textrm{ si m=n}\;\\ \frac{1}{a^{n-m}}\;\textrm{ si n>m}}$

5. $\Huge a^0=1,\,\,\, a\neq 0$

6. $\Huge (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m},\,\,\, b\neq 0$

7. $\Huge a^{-n}=\frac{1}{a^n},\,\,\, a\neq 0$

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

Los radicales podemos escribirlos como una potencia con exponente racional y les aplicamos las propiedades de los exponentes; de esta ,manera definimos las siguientes propiedades para los radicales.

si $x,\, y\in\mathbb{R},\, m,\, n\in\mathbb{N}$

1. $\Huge \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}},\,\, x\geq 0$ para n par
2. $\Huge \sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}$
3. $\Huge \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n*m]{x}$
4. $\Huge \sqrt[n]{x*y}=\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y}$
5. $\Huge \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}},\,\, y\neq 0$
6. $\Huge \sqrt[n]{a^n}=\mid a \mid$ para n par.
7. $\Huge \sqrt[n]{a^n}=a$ para n impar.

Ejemplo 1:

La distancia media de la Tierra al Sol es de 149 600 000 km.

$149600000\, Km=1.496 \times 100000000\, km=1.496 \times 10^8$

Entonces la distancia media de la Tierra al Sol se puede expresar en notación cientifica. $1.496 \times 10^8$

Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa (-n) es igual a $\frac{1}{10}$

Ejemplo 2:

El diámetro de un átomo de plata es 0.00000000025 m

$0.00000000025=\frac{2.5}{10000000000}=2.5 \times \frac{1}{10^{10}}=2.5*10^{-10}$
Notación científica en sumas y restas.

Si los sumandos son del mismo orden de magnitud sumamos o restamos los números que preceden a las potencias de 10.
Si los sumandos no son del mismo orden de magnitud se reducen al mayor de los órdenes, y se suman o se restan los números que preceden a las potencias de 10.

Notación científica en productos y cocientes

Para hallar productos y cocientes de números expresados en notación científica se aplican las reglas del producto de decimales y las propiedades de la potenciación.

Ejemplo 3:

Efectuemos $0.00000013 \times 1500000$

Solución:
Cada factor lo expresamos en notación científica
$0.00000013=1.3 \times 10^{-7}\,\,\,\, y\,\,\,\, 1500000=1.5 \times 10^6$
Ahora efectuamos el producto:
$0.00000013*1500000=(1.3*10^{-7})*(1.5*10^6)$
$=(1.3*1.5)*(10^{-7}*10^6)$ Recordemos que $10^n*10^m=10^{n+m}$
$=1.95*10^{-1}$
$=0.195$

Simplifiquemos $\frac{0.000072}{0.003}$

Solución:
Escribamos cada expresión en notación científica
$0.000072=7.2*10^{-5}\,\,\,\, y\,\,\,\, 0.003=3*10^{-3}$
Ahora calculamos el cociente:
$\frac{0.00072}{0.003}=\frac{7.2*10^{-5}}{3*10^{-3}}$
$=\frac{7.2}{3}*\frac{10^{-5}}{10^{-3}}$ Recordemos que $\frac{10^n}{10^m}=10^{n-m}$
$=\frac{7.2}{3}*10^{-5-(-3)}$
$=2.4*10^{-2}$
$=0.024$

En el siguiente vídeo encuentra una explicación a fondo del tema:

Fuente del vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=bg_4G32yCnM

PREGUNTA: Escriba en notación cientifica el siguiente número 78563000

* 78.563*10^6 * 7.8563*10^8 * 7.8563*10^9 * 7.8563*10^7

Los números reales: igualdad y propiedades

Reconoceremos el conjunto de los números reales como la unión de los racionales e irracionales.

Los números reales: igualdad y propiedades

En la vida práctica, al realizar mediciones (en la conmensurabilidad), basta con el manejo de los números racionales y sus operaciones. Sin embargo, como vimos en la primera unidad, existen números no racionales y la inconmensurabilidad tiene solución únicamente por, la existencia de números irracionales.

Números racionales como: $2.1,\,\frac{3}{2},\, 1.0045,\, -0.353535\cdots,\frac{120}{42},\, 7$ siempre tienen una expresión decimal finita (para la cual se acepta que tiene período O) o periódica de periodo diferente de O. En efecto, podemos escribir:

$2.1=2.1000\cdots,\,-\frac{3}{2}=-1.5000\cdots,\, 1.0045=1.0045000\cdots,\, -\frac{35}{99}=-0.3535\cdots$

Números irracionales como: $1.2020020002\cdots,\,\pi,\,\sqrt{3},\, -\sqrt{2}$ tienen una representación decimal infinita no periódica.

Como estudiamos en la unidad anterior, las expresiones decimales de los números nombrados son:

1.2020020002... = 1.2020020002.

$\pi=3.141592653589\cdots$ (por defecto)

$\sqrt{3}=1.732050808\cdots$ (por defecto)

$\sqrt{2}=-1.414213562\cdots$ (por exceso)

Todos los números racionales e irracionales conforman los números reales; de esa forma, un número real siempre tiene una representación decimal periódica, de período O (decimal finito) o de periodo diferente de cero, o una representación decimal no periódica

Los números racionales se representan sobre la recta, como seguramente lo has hecho. En la figura se representan los racionales: $-\frac{3}{4},\, 3.45,\,\frac{1}{3}=0.3333\cdots$

Sobre la recta también has representado algunos números irracionales En la siguiente figura se muestra la representación sobre la recta del irracional $\sqrt{10}$

Si sobre la recta señalamos un punto, es posible determinar el número real que le corresponde teniendo como base la unidad que se ha escogido.

En conclusión, podemos decir que:

A cada número real le corresponde un punto sobre la recta y a cada punto sobre la recta le corresponde un número real. Cuando sobre la recta se representan los números reales, la recta se llama recta real.

Por otra parte, observemos los siguientes números y determinemos si son iguales o no lo son

$\frac{3}{4},\, -0.75,\, -\frac{75}{100}\, y\, -\frac{150}{200}$

Cuando se tienen dos números reales, de ellos se puede decir que son iguales o son diferentes. Dos números reales iguales pueden tener, sin embargo, diferente representación numérica.

En este caso $\frac{3}{4},\, - 0.75,\, -\frac{75}{100}\, y\, -\frac{150}{200}$

son números reales iguales.

En general, se puede asegurar que si r es un número real, entonces r= r. Así:

$7.3=7.300\cdots ,\,\sqrt{7}=\sqrt{7}$

Además, si $-\frac{3}{4}=-0.75$ , entonces $-0.75=-\frac{3}{4}$

Si r es un número real y se cumple que r = 9.5, entonces también se

cumple que 9.5 = r.

si $\frac{4}{5}=\frac{80}{100}=0.8$ , entonces $\frac{4}{5}=0.8$

Si r y m son números reales y se cumple que r = 2.1888 Y 2.1888 = m,

entonces se concluye que r = m.

Los enunciados que hemos hecho para ciertos números reales, permiten conjeturar tres propiedades que se cumplen para Iodos los números reales y que más tarde podrás demostrar.

La igualdad entre números reales cumple las propiedades:

Reflexiva : todo número real es igual a si mismo, lo que quiere decir que si a es un número real, entonces a = a.

Simétrica: Si a, b, son números reales y a = b, entonces b = a.

Transitiva: si a, b, y c son números reales y a = b y b = c, entonces a = c.

Por cumplir estas tres propiedades se dice que la igualdad entre números reales es una relación de equivalencia

La operación logaritmación permite determinar el exponente entero al cual debe elevarse una base positiva conocida, para obtener una potencia dada. La logaritmación es la otra operación inversa de la potenciación.

El resultado de la logaritmación se indica así:

Y se lee "n es el logaritmo en base a de b". El resultado de la logaritmación tiene sentido siempre y cuando esté definida unívocamente la expresión an = b; para que ello sea posible se toman a y b positivos.

Con esa condición, se cumplen las siguientes equivalencias:

$\Huge \log_a{b} = n\Leftrightarrow a^n = b\Leftrightarrow\sqrt[n]{b} = a$

Ejemplo:

De acuerdo con las potencias, expresemos en forma de logaritmo:

a) 53 = 125, entonces $\log_5{125} = 3$

b) 10-3 = 0.001, entonces $\log_{10}{(0.001)} = -3$

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA LOGARITMACIÓN

|1| Los números negativos no tienen logaritmo. Es una especie de convenio ya que aparecerian opuestos de los positivos y algunos negativos no tendrian logaritmo como $\Large log_{2}{(-4)}$ , donde $2^2=4$ y $(-2)^2 = 4$ según propiedades de la potenciación.

|2| El logaritmo de su base es 1. Así $Log_b B=1$ ya que $B^1=B$ .

|3| El logaritmo de 1 es cero. Así $Log_b 1=0$ ya que $B^0=1$ .

Como las calculadoras sólo traen dos posibilidades para calcular logaritmos: log (logaritmo en base 10) y ln (logaritmo natural), se debe trasformar la base $\frac{1}{2}$ a base 10 o a base e; para hacerlo utilizamos la propiedad de los logaritmos que dice

$log_ab=\frac{log_k b}{log_k a}$ ; o sea

$log_{\frac{1}{2}}x=\frac{logx}{log\frac{1}{2}$

Así los valores para la variable independiente se calculan con

$y=\frac{logx}{log\frac{1}{2}$ .

Video de explicación, para profundizar:

Fuente:

PREGUNTA: ¿Calcular el logaritmo de $\Large \log_2{4}$ es?

Expresiones algebraicas

Juan Manuel desea comprar un discman. Después de las averiguaciones que hizo, se enteró de que el precio es superior a $100.000, pero inferior a $150.000. El papá prometio colaborarle con la mitad del valor. Juan Manuel tiene ahorrado la cuarta parte; si la mamá le regala $20.000, ¿cuánto dinero reúne Juna Manuel?

El enunciado anterior tiene mucha información que podemos analizar con más cuidado, si usamos el lenguaje de la matemática para expresarlo.

Si el precio desconocido del discman se representa con la letra x, las diversas situaciones enunciadas en el problema también se puede expresar con ella y con números, tal como lo muestra la tabla.

Situación	Expresión verbal	Expresión matemática
Precio del discman	Mayor que $100.000 y menor que $150.000	$\$100000\leq x\geq\$150000$
Dinero que le da el papá	La mitad del precio	$\frac{1}{2}x$
Dinero ahorrado por Juan Manuel	La cuarta parte del precio del discman	$\frac{1}{4}x$
Dinero que le da la mamá	La mamá le regala $20.000	$20.000
Dinero que tiene para la compra	Lo que le da el papá, lo ahorrado por Juan Manuel, lo que le regala la mamá.	$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+20000$

La letra que usamos para representar la cantidad desconocida está combinada con números a través de las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división. Esas operaciones, junto con la potenciación y la radicación, son llamadas operaciones algebraicas.

Se denomina expresión algebraica al conjunto de letras y números ligados entre sí por los signos de las operaciones algebraicas.

Ejemplos de expresiones algebraicas son:

$5x^4+2bc,\,\,\frac{(4t^2-1)}{(9t+7)},\,\, 6m-\sqrt{4m^4-3m}$

Con expresiones algebraicas se enuncian las leyes de la física y la química, las fórmulas del perímetro, el área de las figuras geométricas, el volumen de los cuerpos, etc. Entre estas tenemos:

la distancia d recorrida por un móvil que lleva una velocidad v durante un tiempo t es: d = v * t
El área A de un cubo de arista l es: $\bf{A}=6l^2$
La longitud de onda $\lambda$ de un electrón se expresa así:

$\lambda =\frac{h}{m*v}$ , donde h representa la constante de plank; m la masa del electrón; v la velocidad de desplazamiento del electrón.

Ejemplo:

Si a, b y c son números reales, para cada expresión verbal encontremos su respectiva expresión algebraica.

a) El doble de la suma de a, b y c

b) La suma del doble de a y el triple de b

c) El cuadrado de la suma de a, b y c

d) La suma de los cuadrados de a, b y c

e) El producto de a por el cuadrado de c

f) La enésima potencia de la suma de a y b

Solución:

a) 2(a + b + c)

b) 2a + 3b

c) $(a+b+c)^2$

d) $a^2+b^2+c^2$

e) $ac^2$

f) $(a+b)^n$

Video de profundización sobre conceptos importantes:

Fuente: http://www.youtube.com/watch?v=NYz6PEEdY4M

Polinomios

Monomio es una expresión algebraica que solamente contiene productos de números reales y de potencias de una o varias variables, cuyos exponentes son números enteros positivos.

Expresiones como $12xy,\,28x^2,\,z,\,3m,\,25t^2, ax^n=\underbrace{a*x*x*x*\cdots*x}_{n\, veces}$ , $ax^ny^,\, ax^ny^mz^r$ , se denominan monomios.

a es el coeficiente y $x^n,\, x^ny^m,\, ax^ny^mz^r$ la parte literal.

Por ejemplo $\13x^2y^3$ es un monomio con $x^2$ y $y^3\$ como parte literal, y $13\$ como coeficiente; $13x^2\$ es un monomio en la variable $x$ , con $x^2$ como parte literal y $13\$ como coeficiente; $13x^{-2}y^3\$ no es un monomio, ya que la variable $x\$ tiene exponente entero negativo.

Ejemplo:

¿Cuáles expresiones: $(-\frac{2}{7})y^6,\, -5b^2z^9,\,\sqrt{3x^3},\, 7y^{\frac{1}{2}},\, 14z^{-4},\, 19w^4$ , son monomios?

Sólo $(-\frac{2}{7})y^6,\, -5b^2z^9,\,\sqrt{3x^3},\, 19w^4$ son monomios,; las demás no lo son, porque el exponente de la parte literal de $7y\frac{1}{2}$ no es un número natural, lo mismo que ocurre con $14z^{-4}$ ya que la variable $z\$ tiene exponente entero negativo.

Cada monomio es un término y los monomios como $4x^6,\, -7x^6\, y 13x^6\$ que tienen la misma parte literal, se llaman términos semejantes.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

En la expresión $3x^5+\frac{2}{7}x^5-\frac{9}{14}x^5$ se ha indicado una suma algebraica de términos semejantes, la cual puede simplificarse usando la propiedad distributiva, así:

$3x^5+\frac{2}{7}x^5-\frac{9}{14}x^5=(3+\frac{2}{7}-\frac{9}{14})x^5=(\frac{42}{14}+\frac{4}{14}-\frac{9}{14})x^5=\frac{37}{14}x^5$

De este modo la expresión se ha reducido a un solo monomio.

Para adicionar términos semejantes se adicionan algebraicamente sus coeficientes y el resultado se multiplica por la parte literal. Este proceso se denomina reducción de términos semejantes.

Grado de un monomio

Los monomios $4t^2\, y\,\frac{1}{2}t^8\$ no son semejantes a pesar de tener la misma variable.

Se diferencian no sólo por el coeficiente, sino por el exponente de la variable. En el primer caso el exponente es $5$ , en el segundo el exponente es $8$ ; por esta razón se dice que el grado del primer monomio es $5$ y del segundo es $8$ .

Cuando un monomio tiene varias variables, su grado corresponde a la suma de los exponentes de las variables que lo forman. Así, $-\frac{3}{8}x^4y^3$ es un monomio de grado $7\$ .

Se llama grado de un monomio al exponente de la variable si el monomio tiene una sola variable, o la suma de los exponentes de las variables cuando el monomio cuenta con varias variables. El coeficiente del monomio debe ser distinto de cero.

Polinomio en una variable

Las expresiones $4x^3+3x-9x^4$ y $\frac{3}{8}y^6-2y+7y^5-2$ indican una suma de monomios con la misma variable.

Una suma algebraica de varios monomios se denomina polinomio. Cada monomio constituye un término del polinomio.

$4x^3+3x-9x^4$ es un polinomio en la variable $x$ de tres términos y $\frac{3}{8}y^6-2y+7y^5-2$ es un polinomio en la variable y que tiene cuatro términos. Además el término que no contiene y, en este caso $-2$ , decimos que es de grado cero y se llama término independiente o constante.

Cuando los monomios que forma el polinomio tienen más de una variable como $4xt-\frac{1}{2}x^3t^2+6x^2t^4$ , se tiene un polinomio en las variables x y t.

Cuando un polinomio contiene sólo dos términos se llama binomio. Si contiene tres términos es un trinomio.

Los polinomios $8x^3-3x$ y $-7w^3z^2+\frac{4}{9}$ son binomios; $-\frac{1}{2}y^4+2y^3-15$ y $4h^5d^3-\frac{3}{5}h^4d^2+h^3d$ son trinomios.

En general un polinomio en una variable es una expresión de la forma $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_nx^n$ , con $n\in N$ . Si $a_n\neq 0$ , se dice que el grado del polinomio es $n$ .

Ejemplo:

$3xy^2-7x^3y^3+2x^4y^5$ es un polinomio en las variables $x$ y $y$ . El grado del polinomio es $9$ .

Cuando los términos de un polinomio se escriben de modo que sus grados vayan creciendo o decreciendo, se dice que el polinomio está ordenado. Por ejemplo $\frac{1}{8}x-\frac{5}{3}x^2-\frac{9}{4}x^6$ está ordenado respecto a las potencias creciente de $x$ ; $-12y^7+5y^3-9y^2+y-2$ está ordenado respecto a las potencias decrecientes de $y$ .

El polinomio $4-2z+\frac{3}{4}z^2-8z^3-\frac{7}{5}z^4+7z^5$ es un polinomio ordenado, en donde aparece un término de cada grado desde cero hasta cinco. Por esto se llama polinomio completo de grado 5. Si al polinomio le falta alguno de sus términos, se le llama polinomio incompleto.

$\frac{1}{3}x^6+2x^3-x^2+6$ es un polinomio incompleto de sexto grado.

PREGUNTA: ¿Cuál es el grado del polinomio $-2x^4+7x^6-3x^7$

Grado 4 Grado 7 Grado 17 Grado 6

Adición y sustracción de polinomios

Una fábrica produce las baldosas que aparecen en la figura, con los cuales elabora distintos patrones.

Algunos de los patrones construidos son los que se muestran en la figura.

Un arquitecto necesita saber el área de cada patrón para decidir cómo acomodarlos en el piso.
primero hallemos el área de cada baldosa.

Veamos ahora el área de cada patrón.
Patrón a: $8(2xy)+1(x^2)=16xy+x^2$
Patrón b: $6(2xy)+2(x^2)+3(y^2)=12xy+2x^2+3y^2$
Patrón c: $2(2xy)+2(x^2)+8(y^2)=4xy+2x^2+8y^2$
El área de cada patrón corresponde a un polinomio.
si los valores de x y y son 20cm y 10cm respectivamente, el área del patrón c. es:
$4(20cm)(10cm)+2(20cm)^2+8(10cm)^2=800cm^2+800cm^2+800cm^2=2400cm^2$
Si se desea unir los patrones $a$ , $b$ , $c$ , el área de la región cubierta por ellos sera la suma de sus áreas:
$(16xy+x^2)+(12xy+2x^2+3y^2)+(4xy+2x^2+8x^2)$
$=16xy+x^2+12xy+2x^2+3y^2+4xy+2x^2+8x^2$
$=32xy+5x^2+11y^2$

Reduciendo término semejantes obtuvimos otro polinomio.
Si queremos averiguar en cuanto difieren las áreas de los patrones b. y c., se tiene:
$(12xy+2x^2+3y^2)-(4xy+2x^2+8y^2)$
$=12xy+2x^2+3y^2-4xy-2x^2-8y^2=8xy-5y^2$
Se eliminan paréntesis y se reducen los términos semejantes. Al hacer la diferencia de polinomios se tienen en cuenta las reglas vistas en la sustracción de números reales.
Si como se dijo antes, los valores de x y y son 20cm y 10 cm, la diferencia entres las áreas de los patrones b. y c. es:
$8(20cm)(10cm)-5(10cm)^2=$
$1600cm^2-50cm^2=1100cm^2$
Así como en los enteros se puede convertir la sustracción en una adición con el opuesto, en los polinomios se puede proceder de manera similar. El opuesto de un polinomio es el polinomio que tiene los mismos coeficientes del polinomio dado, cambiados de signo.
Por ejemplo hallemos la diferencia de los polinomios $5x^2-13x-7x^3$ y $-4x^2+8x-9x^3$
Escribimos
$5x^2-13x-7x^3-(-4x^2+8x-9x^3)$
PREGUNTA: Efectuar la adición de los polinomios
Polinomio 1: $-4x^3+5x^2-8x$
Polinomio 2: $-7x^2+3x-6$
Polinomio 3: $9x^3+10x-8$
A) 5x^3+2x^2 + 5x +14 B) 5x^3-2x^2 + 5x -14

Multiplicación de polinomios

En los monomios $\frac{2}{5}t^5,\, -3t^4\, y\, -\frac{4}{3}x^2y^3,\, -5x^3y$ , como $t,\, x,\, y$ son variables que toman valores en los números reales, realizar la multiplicación entre los monomios es similar a efectuar la multiplicación entre números reales.

Por ejemplo:

$\frac{2}{5}t^5(-3t^4)$
$=\frac{2}{5}*-3t^5t^4$
$=\frac{-6}{5}t^9,\$
$\frac({-4}{3}x^2y^3)(-5x^3y)$
$=(\frac{-4}{3})*(-5)(x^2x^3)(y^3y)$
$=\frac{20}{3}(x^5y^4)$

El producto de dos monomios es otro monomio en el que se cumple:

El coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores
La parte literal corresponde al producto de la(s) variable(s) que aparecen en los monomios. En este producto se aplica a la ley de los exponentes para potencias de igual base.
El grado del monomio producto es igual a la suma de los grados de los monomios factores.

Si se tienen más de dos monomios, para hallar con ellos el producto se procede de igual manera que cuando hay dos monomios.

Ejemplo:

¿Cuál es el producto de los monomios $-8a^2b^2,\,\frac{5}{4}ab^3\, y\, -\frac{3}{2}a^3b^4?$

Solución:

$\(-8a^2b^2)(\frac{5}{4}ab^3)(-\frac{3}{2}a^3b^4)$
$=\[(-8))\frac{5}{4})(-\frac{3}{2}](a^2aa^3)(b^2b^3b^4)$
$=\frac{-8*5*-3}{4*2}(a^6)(b^9)$
$=\15a^6b^9$

Si uno de los factores es un polinomio, para obtener el producto se hace uso de la propiedad distributiva y se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo:

¿Cuál es el producto entre $2x^3y^2\,\,\, y\,\,\, -4x^3y+3xy^2-7x^2y^3$ ?

$(-4x^3y+3xy^2-7x^2y^3)( 2x^3y^2)$
$=(-4x^3y)( 2x^3y^2)+(3xy^2)( 2x^3y^2)-(7x^2y^3)( 2x^3y^2)$
$=-8x^6y3+6x^4y^4-14x^5y^5$

Para multiplicar un polinomio por un monomio se efectua el producto del monomio por cada uno de los términos del polinomio.

El grado del polinomio corresponde a la suma de los grados del polinomio y del monomio. En le ejemplo anterior se tiene:

$\underbrace{(-4x^3y+3xy^2-7x^2y^3)}_{Grado\5}*\underbrace{(2x^3y^2)}_{Grado\5}=\underbrace{-8x^6y3+6x^4y^4-4x^5y^5}_{Grado\10}$

Los polinomios también se pueden disponer en columnas para realizar la multiplicación.

Cuando los polinomios se ordenan y se disponen en columnas, se consiguen los productos parciales del primero por cada término del otro; luego se suman los resultados.

Para hallar el producto de varios polinomios se hace uso de la propiedad asociativa de la multiplicación de números reales.

Ejemplo:

¿Cuál es el valor de A*B*C si $A=-3x+2;\, B=x-3\, y\, C=4x^2-5x+1$ ?

$A*B*C= (-3x+2)(x-3)(4x^2-5x+1)$

Se calcula primero el producto de dos polinomios y ese resultado se multiplica por el tercer polinomio.

$A*B=(-3x+2)(x-3)=-3x^2+9x+2x-6=-3x^2+11x-6$
$(A*B)*(C)=( =-3x^2+11x-6)( 4x^2-5x+1)$
$=-12x^4+15x^3-3x^2+44x^3-55x^2+11x-24x^2+30x-6$
$=-12x^4+59x^3-82x^2+41x-6$

El grado del polinomio producto es la suma de los grados de los polinomios factores.

En el ejemplo anterior para hallar A*B*C calculamos primero el producto A*B y luego lo multiplicamos por C. Si hallamos primero B*C y luego a Alo multiplicamos por ese producto, obtendremos el mismo resultado.

PREGUNTA: ¿Cuál es el producto de $5x^4+3xy^2+y^3$ y $x^5+3y^4$

a) 5x^9+3x^6y^2+x^5y^3+15x^4y^4+9xy^5+3y^7

b) 5x^9+3x^6y^2+x^5y^3+15x^4y^4+9xy^5+3y^6

c) 5x^9+3x^6y^2+x^5y^3+15x^4y^4+9x^3y^6+3y^7

d) 5x^9+3x^6y^2+x^5y^3+15x^4y^4+9xy^6+3y^7

Expresiones notables

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Son denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son:

Binomio de suma al cuadrado: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto de ambos, más el cuadrado del segundo.

$(a+b)(a+b)=\ a*(a+b)+b*(a+b)$
$=\ a^2+ab+ba+b^2=\ a^2+2ab+b^2$
$\bf (a+b)^2=\ a^2+2ab+b^2$

Binomio diferencia al cuadrado: El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero, menos el doble del producto de ambos, más el cuadrado del segundo término.

$(a-b)(a-b)=\ a*(a-b)+b*(a-b)$
$=\ a^2-ab-ba+b^2=\ a^2-2ab+b^2$
$\bf (a-b)^2=\ a^2-2ab+b^2$

Ejemplo:

$(8+3)^2=8^2+2*8*3+3^2$

$11^2=64+48+9$

$121=121$

$(8-3)^2=8^2-2*8*3+3^2$

$5^2=64-48+9$

$25=25$

Diferencia de cuadrados: El producto de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

$(a+b)(a-b)=\ a*(a-b)+b*(a-b)$
$=\ a^2-ab+ba-b^2=\ a^2-b^2$
$\bf (a+b)(a-b)=\ a^2-b^2$

Ejemplo:

$(12-5)(12+5)=\12^2-5^2$
$7*17=\144-25$
$119=\119$

Binomio suma al cubo: El cubo de la suma de los dos términos es igual al cubo del primer término, más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

$(a+b)^3=\(a+b) (a+b) (a+b)=\[ (a+b) (a+b)] (a+b)$
$=\(a^2+2ab+b^2)(a+b)$
$=\ a^2(a+b)+2ab(a+b)+b^2(a+b)$
$=\ a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+b^2a+b^3$
$=\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$\bf (a+b)^3=\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Ejemplo:

$(9+4)^3=\9^3+3*(9^2)*4+3*(9)*4^2+4^3$
$13^3=\729+3*81*4+3*9*16+64$
$2197=\2197$

Binomio diferencia al cubo: El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por le cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

$(a-b)^3=\(a-b) (a-b) (a-b)=[ (a-b) (a-b)] (a-b)$
$=\(a^2-2ab+b^2) (a-b)$
$=\ a^2(a-b)-2ab(a-b)+b^2(a-b)$
$=\ a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+b^2a-b^3$
$=\ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$\bf (a-b)^3=\ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Suma de dos cubos: $\bf a^3+b^3=\(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Producto de dos binomios que tienen un término común:

$\bf (x+a)(x+b)=\ x^2+(a+b)*x+ab$

PREGUNTA: ¿ $(x-2)^3$ ?

a) x^3-6x^2+12x-8 b) x^3+6x^2+12x-8 c) x^3+6x^2-12x+8 d) x^3-6x^2+12x+8

División de polinomios

Recordemos algunas formas de expresar cocientes:

Si $a, b, c$ son números reales, entonces:

· $\frac{ab}{c}=a*\frac{b}{c}=\frac{a}{c}*b,\, con\, c\neq 0$
· $\frac{a}{bc}=\frac{a}{b}*\frac{1}{c}=\frac{1}{b}*\frac{a}{c},\, con\, b\neq 0\, y\, c\neq 0$
· $\frac{1}{bc}=\frac{1}{b}*\frac{1}{c}=\, con\, b\neq 0\, y\, c\neq 0$

Ahora recordemos algunas propiedades de la potenciación.

Si $b\in\math{b},\, b\neq 0$ , y $r$ , $s$ son enteros positivos, se tiene:

· $\frac{b^r}{b^r}=b^r*\frac{1}{b^r}=1$
· Si $r > s$ entonces: $\frac{b^r}{b^s}=\frac{b^{r-s}*b^s}{b^s}=b^{r-s}*\frac{b^s}{b^s}=b^{r-s}*1=b^{r-s}$
· Si $s > r$ , entonces: $\frac{b^r}{b^s}=\frac{b^r}{b^{s-r}*b^r}=\frac{1}{b^{s-r}}*\frac{b^r}{b^r}=\frac{1}{b^{s-r}}*1=\frac{1}{b^{s-r}}$

Ejemplo 1:

¿Cuál es el cociente entre $30t^5h^6\,\, y\,\, 6t^2h^4$ ?

Solución:

$\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}=\frac{30}{6}*\frac{t^5}{t^2}*\frac{h^6}{h^4}=5*t^{5-2}*h^{6-4}=5t^3h^2$

El resultado del ejemplo muestra que para cualquier valor de $t$ y $h$ con $t\neq 0$ y $h\neq 0$ , la expresión $\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}$ tiene los mismos valores que $5t^3h^2$ . Cuando remplazamos a $\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}$ por $5t^3h^2$ , decimos que se ha dividido $30t^5h^6$ por $6t^2h^4$ y a $5t^3h^2$ lo llamamos el cociente de los monomios. También decimos que se ha simplificado la expresión $\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}$ .

Un monomio es divisible por otro si el exponente de las variables del dividiendo y divisor, al simplificar, hacen que el cociente sea un monomio.

div0

$-51x^8y^5$ es divisible por $18x^7y^2$ porque el cociente $\frac{-17}{6}xy^3$ es un monomio. Para que el cociente de dos monomios sea otro monomio se requiere que le dividiendo contenga la(s) variable(s) del divisor con el exponente(s) mayor(es) o igual(es).

Los cocientes: $\frac{5t^4}{4t^7}=\frac{5}{4}*\frac{1}{t^3};\,\frac{8m^3}{3m^5}=\frac{8}{3}*\frac{1}{m^2}$ no se reducen a monomios.

División de un polinomio por un monomio

Analicemos el siguiente ejemplo:

$\frac{21k^5-35k^3+14k^2}{7k^2}=(21k^5-35 k^3+14k^2)*\frac{1}{7k^2}$
$=(21k^5) \frac{1}{7k^2}-(35 k^3) \frac{1}{7k^2}+(14k^2)\frac{1}{7k^2}$
$=\frac{21k^5}{7k^2}-\frac{35 k^3}{7k^2}+\frac{14k^2}{7k^2}$
$=3k^3-5k+2$

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término por el monomio, y se suman los cocientes particulares.

División de dos polinomios

Recordemos el proceso de división entre dos enteros:

div1

Se puede verificar que: 951-(35)(27)=6 0 que 951=(35)(27)+6

En general se tiene:

Dividiendo - (Divisor x Cociente) = Residuo

Dividiendo = (Divisor x Cociente) + Residuo

Esta igualdad es equivalente a:

$\frac{Dividiendo}{Divisor}=Cociente+\frac{Residuo}{Divisor}$

Para el ejemplo numérico se tiene: $\frac{951}{35}=27+\frac{6}{35}$ .

Así como el cociente de dos enteros se llama numero racional, si el denominador es distinto de 0, el cociente de dos polinomios se llama expresión racional.

Ejemplo 2:

Dividamos $12x^3+5x^2+13x+14\, entre\, 3x+2$

Solución:

div2

El resultado se puede escribir así:

$(12x^3+5x^2+13x+14)\div (3x+2)=4x^2-x+5+\frac{4}{3x+2}$

Se puede comprobar que:

$(4x^2-x+5)(3x+2)+4=12x^3+5x^2+13x+14$

Ejemplo 3:

Resolvamos $(y^5-2y^3-y+1)\div (y^2-1)$

div3poli

El resultado puede escribirse así:

$(y^5-2y^3-y+1)\div (y^2-1)=y^3-y+\frac{-2y+1}{y^2-1}$

Se puede comprobar que:

$(y^3-y)(y^2-1)+(-2y+1)= y^5-2y^3-y+1$

En este ejemplo ha sido conveniente completar el polinomio dividiendo $y^5-2y^3-y+1$ en la forma $y^5+0y^4-2y^3+0y^2-y+1$ , para facilitar el algoritmo de la división.

Para dividir un polinomio por otro:

· Ordenamos ambos polinomios según las potencias decrecientes de la misma variable, dejando espacios para los términos faltantes en caso que el polinomio dividiendo sea incompleto.
· Obtenemos el primer término del cociente: dividiendo el primer término del dividiendo por el primer divisor.
· Obtenemos el primer dividiendo parcial: multiplicamos el primer término del cociente por el divisor y el producto se resta del dividiendo.
· Repetimos el proceso hasta obtener un dividiendo parcial cuyo grado sea menor al del divisor. Este dividiendo parcial será el residuo.
Ver el siguiente video explicativo, con el procedimiento de la división de polinomios:

PREGUNTA: $h^6-4h^5+6h^4-4h^3+h^2\div h^2-h=?$

División sintética

Realicemos la siguiente división entre los polinomios $4x^3-7x^2+5x-2\,\, y\,\, x-3$

div4poli

Las expresiones las podemos reducir si se omiten las potencias de la variable y trabajamos sólo con los coeficientes, ya que es la posición que indica el grado del término, y lo que cambia son los coeficientes. Al hacer eso la división anterior toma la siguiente forma:

div5poli

Si analizamos el proceso anterior notamos que el primer número de cada producto parcial se anula al hacer la sustracción. Pero esto no influye a los residuos parciales. Podemos omitir los términos del cociente y los primeros términos de los productos parciales. Haciéndolo, tenemos:

div6poli

Como el polinomio divisor es de la forma $x-r$ , o se le puede reducir a ella, el primer coeficiente del divisor es $1$ y, por lo dicho antes, al hacer los productos parciales por tal coeficiente y restar del residuo parcial, estos términos se anulan. Por tanto, se puede eliminar a $1$ del divisor y trasladar los residuos parciales hacia arriba. Conservando la columna, quedando organizados así:

div7

Para completar esta forma de dividir se escribe $4$ , primer coeficiente del dividiendo, en el primer lugar de la línea inferior. De este modo, se tiene:

div8

Los números de la segunda línea se obtienen multiplicando por $-3$ , el número de la línea inferior de la columna precedente.

Los números de la línea inferior se obtienen restando los números de la segunda línea, columna con columna, de los de la línea superior.

Si el multiplicador $-3$ se remplaza por $3$ , su opuesto, los números de la segunda línea se pueden sumar con los de la línea superior para obtener los de la línea inferior. Haciendo, el cambio queda:

div9

El proceso anterior, llamado división sintética, es válido en los casos en los que el divisor es de la forma $x-r$ y se puede resumir así:

1. Ordenamos el polinomio dividiendo así:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0$ Si el polinomio no es completo, escribimos coeficiente cero a los términos que hacen falta.

2. Escribimos los coeficientes del polinomio en orden, incluso los que valgan cero, en una línea horizontal.

3. Trasladamos el primer coeficiente del polinomio a la línea inferior.

4. Multiplicamos $a_n$ por $r$ y escribimos el producto en la segunda línea, debajo del coeficiente $a_{n-1}$ . Adicionamos el producto a $a_{n-1}$ y el resultado lo escribimos en la línea inferior.

5. Multiplicamos la suma anterior por $r$ y el producto lo escribimos en la segunda línea, debajo del coeficiente $a_{n-2}$ . Adicionamos el producto a $a_{n-2}$ y escribimos el resultado en la linea inferior.

6. Repetimos lo dicho en $4$ y $5$ . Hasta donde sea posible.

7. El último número de la linea inferior es el residuo, y los números, a su izquierda, son los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es inferior en uno al grado del polinomio dividiendo.

Ejemplo 1:

Dividir $2x^4-19x^2-75\, entre\, x-4$

Solución:

Los coeficientes del dividiendo son: $2, 0, -19$ , o y $-75$ .

div10

El polinomio cociente es $2x^3+8x^2+13x+52$ y el residuo es $133$ .

Luego: $2x^4-19x^2-75=(x-4)(2x^3+8x^2+13x+52)+133$

PREGUNTA: $x^4-1\div x-1=?$

Factorizacion

Factor Común

Cuando se multiplica dos o más números para formar un producto, cada número se llama factor del producto. Recordemos que la palabra factor está ligada a la operación multiplicación.

Para determinar todos los factores enteros de un número, se usa la descomposición en factores primos del número y con estos se construye un diagrama de árbol, como se muestra en el esquema de la figura. El producto de los números en cada rama es un factor del número original.

5.4aa

Para determinar factores que no sean enteros se divide el entero por cualquier número diferente de cero. Entonces el cociente y el divisor son factores del entero. Por ejemplo, factores de 12 son $\frac{3}{2}$ y 8, ya que $12\div 8=\frac{3}{2}$ , es decir $12=8\cdot{\frac{3}{2}}$

Ejemplo:

Se quiere entapetar una oficina de 4 m por 5 m usando dos piezas rectangulares de alfombra; una de ellas tiene $12\, m^2$ de área y la otra $8\, m^2$ . ¿Puede hacerse sin cortar las piezas?

Como veremos, para responder esta pregunta necesitamos más información. El área de la primera pieza de tapete es $12\, m^2$ , pero puede tener varias formas. Por ejemplo:

Ancho	Largo	Área
1 m	12 m	$12\, m^2$
8 m	$\frac{3}{2}$
4 m	3 m

Esto se debe a que 12, $\frac{3}{2}$ y 3 son algunos de los factores de 12.

Para poder usar los dos pedazos de alfombra sin cortarlos, uno de los lados de cada rectángulo debe tener igual medida. Como las dimensiones del piso son 4 m y 5 m, esos valores son las posibles medidas del lado común. Además, tomando en cuenta el área de los dos pedazos de alfombra, la medida común debe ser factor común de 8 y 12. Veamos

5.5

Para encontrar el máximo entero factor común de dos o más números enteros se escogen los factores primos comunes con el menor exponente con el cual aparecen en la descomposición en factores primos de cada número.

Ejemplo :

¿Cuál es el máximo factor común de 24 y 120?

Como $24=2^3\cdot 3\, y\, 120=2^3\cdot 3\cdot 5$ , entonces, el máximo factor común es $2^3\cdot 3=24$

Cuando queremos hallar factores comunes de monomios con coeficientes enteros, procedemos de igual forma. Escogemos, además de cada primo común de los coeficientes con el menor exponente.

El máximo factor común de dos o más monomios es el monomio factor común con el mayor coeficiente y mayor grado en cada variable.

Ejemplo:

¿Cuál es el máximo factor común de $18x^2y^3z\, y\, 24x^4y^2z$ ?

· Hacemos la descomposición en factores primos de 18 y 24 para determinar el máximo factor común de los coeficientes.

$18=3^2\cdot 2\, y\, 24=2^3\cdot 3$

Por tanto, el máximo factor común de 18 y 24 es $2\cdot 3=6$

· Ahora encontramos el mayor factor común de la parte literal de los monomios, es decir $x^2y^3z\, y\, x^4y^2z$

En este caso el mayor factor común es: $x^2y^2z$

· Por ultimo determinamos el mayor factor común de los monomios así: $6x^2y^2z$

Es importante saber cuál es el máximo factor común de dos o más monomios, porque nos ayuda a simplificar fracciones, cuyo numerador y denominador son monomios, o a expresar una suma algebraica de monomios como producto. Al máximo factor común se acostumbra llamarlo simplemente factor común.

Ejemplo:

Simplifiquemos la fracción $\frac{72x^3yz^2}{120x^2z^4)$ , donde $x\neq 0\, y\, z\neq 0$ .

· Descomponemos en factores primos los coeficientes: $72=2^3\cdot 3^2\, y\, 120=2^3\cdot 3\cdot 5$ . Determinamos el factor común : $2^3\cdot 3\cdot x^2z^2$

Expresamos tanto el numerador como el denominador en forma de producto (factorizamos), en donde uno de los factores es el máximo factor común, esto es:

$72x^3yz=(2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(3xy)\, y\, 120x^2z^4=(2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(5z^2)$

· Finalmente simplificamos la fracción:

$\frac{72x^3yz^2}{120x^2z^4}=\frac{(2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(3xy)}{( 2^3\cdot 3\cdot x^2z^2)(5z^2)}=\frac{3xy}{5z^2}$

Ejemplo 2:

Supongamos que tengamos tres rectángulos cuyas áreas son $\frac{9}{2}x^3y^2,\, 6x^2y\, y\ 15x^3y^3$ . Los tres rectángulos tienen un lado con la misma medida, la cual es el máximo monomio factor común de los monomios que denotan las áreas. ¡Cuales son las dimensiones del rectángulo que se obtiene al unir los tres rectángulos por el lado de medida común?

Antes de comenzar a resolver el problema, conviene expresar todos los números con un denominador común, para que en el monomio factor común se encuentren los fraccionarios:

$6=\frac{12}{2}\, y\, 15=\frac{30}{2}$ ahora realicemos los siguientes pasos:

· Descomponemos en factores primos los numeradote:

$9=3^2,\, 12=2^2\cdot 3\, y\, 30=2\cdot 3\cdot 5$

· Determinamos el factor común: $\frac{1}{2}(3)(x^2y)=\frac{3}{2}x^2y$

· Factorizamos cada monomio:

$\frac{9}{2}x^3y^2=(\frac{3}{2}x^2y)(3xy)$

$6x^2y=(\frac{3}{2}x^2y)(4)$

$15x^3y^3=(\frac{3}{2}x^2y)(10xy^2)$

· Determinamos las dimensiones del rectángulo, como se ve en la figura.

5.6

Por tanto, las dimensiones de los lados del rectángulo son $\frac{3}{2}x^2y\,\, y\,\, 3xy+4+10xy^2$

Lo anterior indica que el área de ese rectángulo esta dada por:

$(\frac{3}{2}x^2y)(3xy+4+10xy^2)$ . Esta ultima expresión es la factorización del polinomio $\frac{9}{2}x^3y^2+6x^2y+15x^3y^3$ , el cual corresponde a la suma de las áreas de los tres rectángulos.

Un polinomio se factoriza cuando se expresa como el producto de otros polinomios

Si el polinomio tiene coeficientes enteros, su factorización debe ser con polinomios de coeficientes enteros. Si el polinomio tiene coeficientes racionales, se factoriza inicialmente el numero racional correspondiente, para que el polinomio restante tenga coeficientes enteros. Para factorizar un polinomio se debe usar, como uno de los factores, el máximo monomio factor común de los monomios que conforman el polinomio y la propiedad distributiva.

Ejemplo:

Factorizar el siguiente polinomio $0.8a^2bc^2-1.2a^3bc$

El polinomio tiene coeficientes racionales, entonces:

· Factorizamos el numero racional correspondiente: $0.1(8a^2bc^2-12a^3bc$

· Descomponemos en factores primos los coeficientes: $8=2^3\, y\, 12=2^2\cdot 3$

· Determinamos el factor común: $2^2a^2bc$ .

· Factorizamos cada monomio: $8a^2bc^2=(4a^2bc)(2c)\, y\, 12a^3bc=(4a^2bc)(3a)$

· Factorizamos el polinomio: $0.8a^2bc^2-1.2a^3bc=0.1(4a^2bc)(2c-3a)$

Podemos comprobar si la factorización es correcta multiplicando los factores que resultan.

PREGUNTA: El factor común de: $x^7+x^3$ es:

Factorización por agrupación.

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Para poder comprender este procedimiento se realizarán varios ejemplos que desarrollarán el ejercicio en busca de encontrar el factor común de la expresión.

1. Descomponer $ax+bx+ay+by$

Los dos primeros términos tienen el factor común $x$ y los dos últimos el factor común y agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo $+$ por que el tercer término tiene el signo $+$ y tendremos;

$ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)$

$=x(a+b)+y(a+b)$

$=(a+b)(x+y)$

La agrupación puede hacerse generalmente de más de una modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

$ax+by+at+by=(ax+ay)+(bx+by)$

$=a(x+y)+b(x+y)$

$=(x+y)(a+b)$

2. Factorar $3m^{2}-6mn+4m-8n$

Los dos primeros términos tienen el factor común $3\ m$ y los dos últimos el factor común $4$ . Agrupando, tenemos:

$3m^{2}-6mn+4m-8n=(3m^{2}-6mn)+(4m-8n)$

$=3m(m-2n)+4(m-2n)$

$(m-2n)(3m+4)$

3. Descomponer $2x^{2}-3xy-4x+6y$

$2x^{2}-3xy-4x+6y=(2x^{2}-3xy)-(4x-6y)$

$=x(2x-3y)-2(2x-3y)$

$(2x-3y)(x-2)$

PREGUNTA:¿Cuál es el resultado de factorar $3ax-3x+4y-4ay$ ?

Factorización trinomios cuadráticos de la forma ax^2+bx+c (ac<0)

FACTORIZAR TRINIMIOS DE LA FORMA $ax^2+bx+c$ ac<0

En la leccion anterior vimos como factorizar trinomios donde $ac > 0$ . si $b$ era positivo, los dos números que buscabamos eran positivos, pero si $b$ era negativo, los dos números debian ser negativos.

Ahora estudiaremos el caso en el cual ac < 0. Al descomponer c en factores primos recordemos que ubicamos en forma vertical primero el mayor y luego el menor. Como los dos números que debemos buscar deben ser de signo opuesto, es decir, uno positivo y uno negativo, colocamos el signo negativo al mayor de ellos.

Ejemplo:

Factoricemos $x^2-3x-28$

Solución:

c<0 entonces ac<0

U5L3G1

Ejemplo 2:

Factoricemos $9x^2-16$

Solución:

PREGUNTA: Factorizar: $25x^2-100$

Factorización trinomios cuadráticos de la forma ax^2+bx+c (ac>0)

FACTORIAZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA $ax^2+bx+c$

Para factorizar el trinomio $ax^2+bx+c$ , con ac>0, debemos:

Hallar los factores primos de a y de c.
Ubicar de mayor a menor los factores primos de a y de menor a mayor los factores primos de c en forma vertical (buscar 2 números que multiplicados me den a y después dos números que multiplicados me den c).
Si $b$ es positivo, los dos números que buscamos serán positivos, pero si $b$ es negativo, los dos numeros deben ser negativos.
Multiplicar en cruz los factores primos de a y de c.
Sumar el resultado de ésta multiplicación
Corroborar que el resultado de dicha suma sea x
Realizar adición de los factores primos de ax y c en línea recta horizontal.

Ejemplo 1:

Factoricemos $16y^2+78y+27$

$a=16\Rightarrow{8\cdot2}$

$c=27\Rightarrow{3\cdot9}$

$16y^2$	$+78y$	$+27=$	$(8y+3)$	$(2y+9)$
8y		3	6y
2y		9	72y
			$\bar{78y}$

Ejemplo 2:

Factoricemos $6x^2+13x+6$

1. Hallamos los factores primos de a y de c

$a=6\Rightarrow{3\cdot2}$

$c=6\Rightarrow{2\cdot3}$

$6x^2$	$+13x$	$+6=$	$(3x+2)$	$(2x+3)$
3x		2	4x
2x		3	9x
			$\bar{13x}$

Ejemplo 3:

Factoricemos $56x^2-15xy+y^2$ .

Solución:

Este trinomio es de la forma $ax^2+bxy+cy^2$ . Por tanto, el proceso es el mismo.

U5L2G3 OCTAVO

Si no es posible hallar los dos números que sumados den $b$ , a partir de los factores de a$, decimos que el polinomio es primo.

Un polinomio que no puede expresarse como producto de polinomios de menor grado, es irreducible. Si el polinomio tiene coeficientes enteros que son relativamente primos y es además irreducible, decimos que es primo.

PREGUNTA: Factorizar $36m^2-60m+25$

GRADO NOVENO

La recta Numérica real

El conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ , el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ y el conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ , pueden representarse en la misma recta numérica.

Para hacerlo trazamos una recta, como la de la figura, escogemos un punto fijo 0, llamado origen, una unidad de longitud y una dirección positiva.

1.2

Luego establecemos una correspondencia que asocia a cada entero un punto sobre la recta h, como muestra la figura. Dicha recta se conoce como recta númerica de los enteros.

1.3

Los números racionales también podemos representarlos en una recta numérica como la de la figura, si suponemos que un segmento puede dividirse en cualquier número de partes iguales.

1.4

En general podemos afírmar que:

Si a es un número asociado a un punto P sobre una recta h con una escala númerica, a se llamará la coordenada de P.

De esta manera se asocian dos conjuntos: una recta geométrica y un conjunto numérico, mediante una correspondencia uno a uno.

A cada número real a le corresponde un punto y sólo un punto de h; y recíprocamente a cada punto P de la recta h le corresponde exactamente un número real. Por esta razón se dice que el conjunto de los números reales es completo.

h se denomina recta coordenada o recta numérica real. Los números que corresponden a puntos que están a la derecha de 0 se llaman números reales positivos y se denota R+; los números que corresponden a puntos a la izquierda de 0 se llaman números reales negativos y se denotan R-. El número 0 no es ni positivo ni negativo.

La recta numérica ilustra gráficamente el orden de los números reales; si x y z son dos números reales y x < z, entonces el punto con la coordenada x queda a la izquierda del punto con la coordenada z. Por tanto, podemos decir que los números reales son un conjunto ordenado y completo.

Valor Absoluto

Cualquier número $a$ tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto $a$ al origen (0), sobre la recta.

Ejemplo 1:

Calculemos la distancia desde el origen hasta el punto 4 y al punto -4.

1.6

En la recta l, de la figura, vemos que:

La distancia desde el origen hasta el punto 4 es 4 unidades, se representa $\mid 4\mid=4$ .
La distancia desde el origen hasta el punto $-4$ es $4$ unidades, se representa por $\mid -4\mid$ y corresponde a $4$ unidades, pero a la izquierda del origen. Puesto que las distancias son no negativas, decimos que $\mid -4\mid=4$ .

Así podemos definir:

El valor absoluto de cualquier número real a que se denota $\mid a\mid$ es: $a$ si $a$ es positivo, $-a$ si $a$ es negativo y 0 si $a$ es cero. En forma simbólica lo escribimos:

$\Huge \mid a\mid=\displaystyle{\left { {a\, si\, a\geq 0\atop -a\, si\, a<0$ .

Por tanto, para cualquier número real a, $\mid a\mid\geq 0$ .

Esto significa que el número dentro del valor absoluto puede ser negativo, pero al desarrollar el valor absoluto SIEMPRE obtendremos un número positivo.

Ejemplo:

I5I = distancia del origen 0 a 5 = 5

I-5I= distancia del origen 0 a -5 = 5

Ejemplo 2:

Hallemos $\mid 32\mid\, y \,\mid -32\mid$

Solución:

$\mid 32\mid=32$ porque $32>0$ .

$\mid -32\mid=-(-32)=32$ porque $-32<0$ .

Ejemplo 3:

Hallemos $\mid\frac{4}{2}\mid,\,\mid-\frac{7}{5}\mid\, y \,\mid -2\mid$

Por definición de valor absoluto tenemos:

$\mid\frac{4}{2}\mid=\frac{4}{2}$

$\mid-\frac{7}{5}\mid=-(-\frac{7}{5})=\frac{7}{5}$

$\mid-2\mid=2$

El valor absoluto puede usarse para calcular la distancia entre dos puntos de una recta coordenada.

Si tenemos dos puntos cualesquiera $a$ y $b$ de una recta numérica, la distancia entre ambos es $a-b$ si $a>b$ y $b-a$ si $b>a$ , es decir, la distancia entre ellos es $\mid a-b\mid$ .

Ejemplo 4:

Hallemos la distancia entre los puntos con coordenadas 3 y 8.

Solución:

De acuerdo con la definición, tenemos: $d(3,8)=\mid 3-8\mid=\mid -5\mid=5$ . Veamos su representación gráfica en la siguiente figura:

De la misma manera si quisiéramos encontrar la distancia entre los puntos con coordenadas 8 y 3, tendríamos: $d(8,3)=\mid 8-3\mid=\mid 5\mid=5$ , tal como lo observamos en la figura.

PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto cumple las siguientes propiedades:

Si a y b son números reales tenemos:

1. $\Huge \mid a*b\mid=\mid a\mid *\mid b\mid$

2. $\Huge \mid a^n\mid=\mid a\mid^n\, con\ n\in N$

3. $\Huge \mid\frac{a}{b}\mid=\frac{\mid a\mid}{\mid b\mid}\ con\, b\neq 0$

4. $\Huge \mid a \mid=\mid -a\mid$

5. $\Huge \mid a^{-k}\mid=\mid a \mid^{-k}\, con\, a\neq 0,\, k\in z$

Ejemplo 5:

Utilicemos estas propiedades para calcular el valor absoluto de los números reales:

a) -35; b) $\frac{50}{2}$ ; c) $\frac{-1}{7}$ ; d) $-\sqrt{5}$ ; e) $\mid\frac{1}{3^{-2}}\mid$

Solución:

a) El valor absoluto de -35 pude escribirse así: $\mid -35\mid=\mid -5*7\mid=\mid -5\mid *\mid 7\mid=5*7=35$

b) El valor absoluto de $\frac{50}{2}$ es: $\mid\frac{50}{2}\mid=\frac{\mid 50\mid}{\mid 2\mid}=\frac{50}{2}=25$

c) El valor absoluto de $-\frac{1}{7}$ es igual a: $\mid\frac{-1}{7}\mid=\frac{\mid -1\mid}{\mid 7\mid}=\frac{1}{7}$

d) El valor absoluto de $-\sqrt{5}$ podemos escribirlo como: $\mid -\sqrt{5}\mid=\sqrt{5}$

e) El valor absoluto de $\frac{1}{3^{-2}$ es: $\mid\frac{1}{3^{-2}}\mid=\frac{\mid 1\mid}{\mid 3^{-2}\mid}=\frac{1}{3^{-2}}=3^2=9$

Puede profundizar la lección, con los videos siguientes:

Fuente:

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto lo encontramos con frecuencia en ecuaciones con polinomios reales de la forma $\mid ax+b\mid=c$ , en donde $a\neq 0$ . En esos casos hallamos el conjunto solución aplicando la definición de valor absoluto.

Ejemplo:

resolvamos $\mid x-2\mid=5$

Solución:

Teniendo en cuenta las dos condiciones de la definición de valor absoluto, $\mid x-2\mid=5$ queda resuelto cuando:

x - 2 = 5 o x - 2 = -5

Para solucionar cada ecuación debemos sumarle 2 a ambos miembros de las igualdades:

x = 5 + 2 o x = - 5 + 2. Así se obtiene:

x = 7 o x = - 3

El conjunto solución de $\mid x-2\mid=5\, es\,\{-3,7\}$ .

Ejemplo 2:

Encontremos el conjunto solución de $\mid x-\frac{3}{7}\mid=\frac{11}{14}$

Por la definición de valor absoluto tenemos: $x-\frac{3}{7}=\frac{11}{14}\, o \, x-\frac{3}{7}=-\frac{11}{14}$ . Resolviendo cada ecuación se sabe que $x=\frac{11}{14}+\frac{3}{7}\, o \, x=-\frac{11}{14}+\frac{3}{7}$ , de donde $x=\frac{17}{14}\, o \, x=-\frac{5}{4}$ .

El conjunto solución de la ecuación $\mid x-\frac{3}{7}\mid=\frac{11}{14}\, es \, {-\frac{5}{14},\,\frac{17}{14}$

No siempre existe solución para las ecuaciones con valor absoluto; por ejemplo la ecuación $\mid x-8\mid=-3$ no tiene solución, puesto que el valor absoluto nunca es negativo.

Para resolver desigualdades con valor absoluto usaremos un método muy parecido al empleado para resolver ecuaciones.

Consideremos primero la desigualdad de la forma $\mid x\mid >a$ . Si a es negativo o cero, la inecuación es verdadera para todo x por definición de valor absoluto. Si a es positivo, esta desigualdad se intrpreta geometricamente como la distancia desde x hasta cero, la cual es mayor que a, esto es $\mid x-0\mid >a$ . Por tanto, tendremos que x > a o x > - a. Por ejemplo, la inecuación $\mid x\mid >4$ es equivalente a la proposición x > 4 o x < - 4. La interpretación geometrica se muestra en la siguiente figura.

1.9

Ejemplo:

Busquemos el conjunto solución de $\mid x+5\mid\geq 2$ .

para interpretar $\mid x+5\mid$ como la distancia entre dos puntos, escribimos $\mid x+5\mid=\mid x-(-5)\mid$ .

Así el conjunto solución de $\mid x+5\mid=\mid x-(-5)\mid\geq 2$ debe contener a todos los números reales x, tales que la distancia entre x y -5 sea mayor o igual a 2.

Por tanto, tendremos que:

$x-(-5)\geq 2\,\,\,\,\,\, x-(-5)\leq -2$
$x\geq 2-5\,\,\,\,\,\,\,\, x\leq -2-5$
$x\geq-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\leq -7$ .

La gráfica corresponde a la que se ve en la figura.

1.10

En las gráficas de estas desigualdades utilizamos el simbolo $\bullet$ para indicar que el punto pertenece al conjunto solución y el símbolo $\circ$ cuando el punto no pertenece al conjunto solución.

Consideremos ahora la desigualdad de la forma $\mid x\mid <a$ .

Puesto que $\mid x\mid$ es un número no negativo, esta inecuación carece de solución cuando a es cero o negativo, por tanto, debe asumirse que a es positivo. Entonces la inecuación $\mid x\mid <a$ significa geométricamente que la distancia desde x hasta cero es menor que a. Es decir, x se encuentra ubicado entre los valores -a y a (excluidos los puntos extremos), lo cual queda expresado mediante la doble inecuación - a < x < a. así, la inecuación $\mid x\mid <5$ es equivalente a la dobl desigualdad -5 < x < 5. Veamos la interpretación geométrica en la figura.

1.11

PREGUNTA: ¿La solución de la inecuación $\mid x-3\mid\leq 2$ es ?

Exponentes y propiedades

Si $n$ es en elemento positivo y $a$ es cualquier número real, definimos $a^n$ como el producto de $n$ factores de $a$ . $\,\, a^n$ es la n-ésima potencia de $a$ . Simbólicamente:

Si $a$ es un número real y $n$ es un número entero, tenemos:

$\Huge a^n=\underbrace{a*a*a*\cdots *a}_{n\,factores}$ , donde $n$ se llama exponente y $a$ base.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

De esta definición obtenemos las siguientes propiedades, llamadas leyes de los exponentes, que nos permitirán simplificar expresiones con exponentes.

Si $a,\, b\in\mathbb{R}\, y\, m,\, n\in\mathbb{Z}$ tenemos:

1. $\Huge a^n*a^m=a^{n+m}$
2. $\Huge (a^n)^m=a^{n*m}$
3. $\Huge (a*b)^m=a^m*b^m$
4. $\Huge \frac{a^m}{a^n}=\displaystyle \left\{ {a^{m-n}\,\textrm{ si m>n} \atop 1\;\,\,\,\,\,\,\,\textrm{ si m=n}\;\\ \frac{1}{a^{n-m}}\;\textrm{ si n>m}}$
5. $\Huge a^0=1,\,\,\, a\neq 0$
6. $\Huge (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m},\,\,\, b\neq 0$
7. $\Huge a^{-n}=\frac{1}{a^n},\,\,\, a\neq 0$

Ejemplo:

simplifiquemos la expresión $x^4*x^7$

Aplicando la definición de potencia n-ésima de $a$ , podemos escribir:

$\Huge x^4*x^7=\underbrace{x*x*x*x}_{4\,factores}*\underbrace{x*x*x*x*x*x*x}_{7\,factores}$
$\Huge =\underbrace{x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x}_{4+7\,factores}$
$\Huge = x^{11}$

Ejemplo 2:

simplifiquemos,
$\frac{10^4}{10^7}=10^{4-7}=10^{-3}=\frac{1}{10^3}$

Recordemos que las propiedades de los exponentes se aplican a productos y cocientes, y no a adiciones ni a sustraciones.

Tampoco podemos multiplicar o dividir dos potencias de bases diferentes usando las propiedades 1 o 4. Es decir, $x^4*y^5$ no puede simplificarse mediante $x^m*x^n=x^{m+n}$ , porque las bases no son iguales.

PREGUNTA: $\frac{x^{-3}}{x^{-8}}=$

Radicales y propiedades

Recordemos que la raiz cuadrada de un número $b$ es un número no negativo $a$ , tal que $a^2=b$ , es decir: $\sqrt{b}=a$ .

La raíz cúbica de un número $b$ es un número $a$ , tal que $a^3=b$ , es decir: $\sqrt[3]{b}=a$ .

Para definir la raíz n-ésima de un número decimos: $a$ es una raíz n-ésima de $b$ si $a^n=b$ . Es decir: $\sqrt[n]{b}=a$

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Los radicales podemos escribirlos como una potencia con exponente racional y les aplicamos las propiedades de los exponentes; de esta ,manera definimos las siguientes PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

si $x,\, y\in\mathbb{R},\, m,\, n\in\mathbb{N}$

1. $\Huge \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}},\,\, x\geq 0$ para n par
2. $\Huge \sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}$
3. $\Huge \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n*m]{x}$
4. $\Huge \sqrt[n]{x*y}=\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y}$
5. $\Huge \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}},\,\, y\neq 0$
6. $\Huge \sqrt[n]{a^n}=\mid a \mid$ para n par.
7. $\Huge \sqrt[n]{a^n}=a$ para n impar.

Al aplicar estas propiedades debemos tener precaución cuando x, $y\leq 0$ .

Ejemplo: Propiedad 1

simplifiquemos.

$\LARGE\sqrt{\sqrt{\LARGE\sqrt{x}}}=\sqrt{\sqrt{x^{\frac{1}{2}}}}$
$=\sqrt{(x^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{(x)^{\frac{1}{4}}}$
$=(x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}$
$=x^{\frac{1}{8}}$

Ejemplo 2: Propiedad 4

Encontremos la $\sqrt{32}$
$\sqrt{32}=\sqrt{2^4*2}=\sqrt{2^4}*\sqrt{2}=2^2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Ejemplo 3:

Simplificar y expresar con exponente positivo.

$(\frac{5\sqrt{y}}{125\sqrt[3]{y}})^3$
$=\frac{5^3\sqrt{y}^3}{125^3\sqrt[3]{y}^3}$
$=\frac{125\sqrt{y}\sqrt{y}^2}{125^3\sqrt[3]{y^3}$
$=\frac{y\sqrt{y}}{125^2y}$
$=\frac{\sqrt{y}}{15625}$

El siguiente video, le ayudará a profundizar el tema. Debe leerlo detenida y pausadamente, resolviendolo en la libreta de notas:

Fuente:http://www.youtube.com/watch?v=oQRf4lSIfY4

PREGUNTA: Simplificar $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=$

EJERCICIOS DE PRACTICA 1 Noveno

determinar qué tanto aprendiste los conceptos y procedimientos vistos en la unidad 1.

1.Calculo el valor absoluto.

a. $\mid\frac{-1}{2}\mid$
b. $-\mid 7^{-2}\mid$
c. $\mid -2\mid^3$

2. Solucionar cada ejercicio con base en las propiedades del valor absoluto.

a. $\mid\sqrt{2}+\frac{1}{4}-8\mid$
b. $\Large\mid\,\frac{\pi}{1-\sqrt{2}}\Large\mid$
c. $\mid(3-\frac{21}{12}+\sqrt{5})(-\sqrt{5}+\frac{21}{12}-3)\mid$

3. Encuentro el conjunto solución para cada ecuación:

a. $\mid 2x-1\mid =-3$
b. $\mid 3x-5\mid =7$
c. $7-\mid x+5\mid =11$

4. Determina si es verdadera o falsa cada afirmación:

a. $\mid -15\mid =-15$
b. $\mid -2\mid=2$
c. $7=-\mid -7\mid$
d. $\mid -13\mid\neq -13$

5. Simplifico cada expresión utilizando las propiedades de los exponentes.

a. $(\Large\frac{u}{v})^{8}$
b. $(x^2*y^4)^3$
c. $(\frac{2x^3}{(2y^{12})^2})^2$

6. Escribo las expresiones empleando exponentes.

a. $\sqrt{xy}$
b. $\sqrt{x +y}$
c. $\sqrt[3]{xy^2}$

7. Simplifico cada ejercicio

a. $\sqrt[3]{x^7}$
b. $\sqrt{2^{3}x^{5}}$
c. $(x^{-2\over3})^{-6}$

8. Racionalizo cada expresión

a. $2x\over\Large\sqrt{x}$
b. $\sqrt{\frac{u}{3}}$
c. $6\over\Large\sqrt[3]{3}$

9. Escriban cada expresión en forma exponencial

a. $\sqrt{4y^{3}}$
b. $\sqrt[3]{x^{2}y}$
c. $\sqrt{a+b}$

10. Racionalizo el denominador de las expresiones

a. $\sqrt{2}\over\Large\sqrt{5}+\sqrt{7}$
b. $\sqrt{5}-\sqrt{2}\over\Large\sqrt{5}+\sqrt{2}$

Los números complejos

Al resolver ecuaciones algebraicas, en los números reales, es evidente que toda ecuación de primer grado con incógnita x, puede reducirse a la forma $ax+b=0$ $(con\, a\neq 0)$ y su solución únicas es el numero real $x=-\frac{b}{a}$ .

Si la ecuación es de segundo grado para la incógnita x, puede reducirse a la forma $ax^2+bx+c=0\, (con\, a\neq 0)$ y en tal caso:

· Su conjunto solución tiene dos elementos, que son los números reales

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, y\, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , siempre y cuando se cumpla que $b^2-4ac>0$

· Su conjunto solución tiene un solo elemento, que es el número real $x=-\frac{b}{2a}\, cuando\, b^2-4ac=0$

· Su conjunto solución no tiene elementos reales, es decir, la ecuación no tiene solución en los números reales si $b^2-4ac<0$ , por cuanto no existe un número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Recordemos que $a^2>0$ para todo número real $a$ . (1)

En particular la ecuación cuadrática $x^2+100$ , que puede escribirse como $1x^2+0x+100$ , tiene como soluciones $x_1=\sqrt{-100}\, y\, x_2=-\sqrt{-100}$ , números que no son reales.

Así mismo resultado llegamos si toma la ecuación $x^2+1=0$ y escribimos $x^2=-1$ ; en tal caso, es necesario encontrar un numero cuyo cuadrado sea $-1$ ; de acuerdo con (1), es imposible que tal número sea real.

Los matemáticos llamaron “imaginarios” a los números cuyo cuadrado es un número negativo y posteriormente idearon el símbolo $i$ , por $i$ comienza la palabra imaginario, para representar al numero cuyo cuadrado es $-1$ , es decir, estableciendo que $i^2=-1$

Como resultado tenemos que $i$ no es un número real y además que el producto de un real por $i$ tampoco es un número real.

Como en los números reales todo cuadrado es un numero real no negativo, la solución de la ecuación $x^2=1$ no es un numero real. Se acepta que existe un numero notado $i$ , que no es real, para le cual $i^2=-1$ .

Ahora nos preguntamos: si adicionamos un número real con el producto de un real por $i$ , ¿la suma $a+bi$ es un numero real?

Un número de la forma $a+bi$ , en donde $a$ y $b$ son números reales, no es un numero real. Todos los números de la forma $a+bi$ se llaman complejos. En un número complejo $a$ se llama parte real y $bi$ se llama parte imaginaria. Esta forma de representar a los números complejos se llama forma binomial, por cuanto puede considerarse $a+bi$ como un binomio algebraico.

Dos números complejos son iguales cuando su parte real y su parte imaginaria, respectivamente son iguales.

Ejemplo:

Identifiquemos la parte real y la parte imaginaria de los números: $\frac{4}{5}+3i,\, -2-0.7i,\, 0.1-4i,\,\sqrt{5i}$ .

· Para el numero complejo $\frac{4}{5}+3i$ la parte real es $\frac{4}{5}$ y la parte imaginaria es $3i$

· Para el numero complejo $-2-0.7i$ la parte real es $-2$ y la parte imaginaria es $-0.7i$

· Para el numero complejo $0.1-4i$ la parte real es 0.1 y la parte imaginaria es $-4i$

· Para el numero complejo $\sqrt{5i}$ la parte real es $0$ y la parte imaginaria es $\sqrt{5i}$

Ejemplo 2:

¿Cuál es la parte imaginaria de los números $0.23;\, 1+\pi$ ?

Estos números son reales y, por tanto, “no tienen” parte imaginaria. Sin embargo, es importante anotar que le numero real $a$ puede escribirse como $a+0i$ y se acepta que su parte imaginaria es $0i$ .

Todo numero real $\bf a$ puede escribirse como el complejo $a+0i$ ; por tal razón, a todo numero real $\bf a$ le corresponde la representación compleja $a+0i$ , en donde $0i$ es su parte imaginaria. En este sentido se acepta que todo número real es un número complejo.

Ejemplo 3:

Hallemos la suma de $(3-\frac{3}{4}i)\, y\, (-0.2+\frac{1}{4}i)$

Para obtener la suma operamos las partes reales y las partes complejas por separado; el resultado

$(3-\frac{3}{4}i)+(0.2+\frac{1}{4}i)=(3-0.2)((-\frac{3}{4})i+\frac{1}{4}i)$

$=2.8+(-\frac{2}{4})i=2.8-\frac{1}{2}i$

Si $a,\, b,\, c$ y $d$ son números reales, entonces:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

Por tanto, la adición de dos números complejos es un numero complejo, cuya parte real es la asuma de la parte real de los sumandos y la parte imaginaria es la suma de la parte imaginaria de los sumandos.

Las propiedades de la adición de números complejos son las mismas que las de la adicción de los números reales.

Modulo de la adición de los números complejos

Si suponemos que le modulo tiene la forma $x+yi$ , entonces:

$(a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i$

$=a+bi$

Luego $x=0$ y $y=0$ . En conclusión, el modulo de la adición de los complejos es el complejo $0+0i$ .

Opuesto del complejo $a+bi$

Para que $(a+bi)+(m+ni)=(a+m)+(b+n)i=0+0i$

Se debe cumplir que $m=-a$ y $n=-b$

Por tanto, el opuesto de $(a+bi)\, es\, (-a-bi)$

El módulo de la adición de los números complejos es el complejo $0+0i$ y el opuesto del complejo $a+bi$ es el numero $-a-bi$ .

PREGUNTA: Al realizar la operación $(3.1-2i)+(5+3i)$ el resultado es:

Solución de sistemas de ecuaciones: método gráfico

Dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas, forman un sistema de ecuaciones.
La solución de un sistema con las incognitas x y y es el par ordenado(a,b) que hace verdaderas las dos ecuaciones.
Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que es consistente, de lo contrario, se llama inconsistente.
Las ecuaciones 2x + 3y = 18 y -x + 2y = -2 forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x y y.
Hallemos, mediante gráficas, la solución del sistema:
$\displaystyle{\left\{ {4x-y=-5\atop 3x+4y=1}$
Grafiquemos las funciones 4x - y = -5 y 3x + 4y = 1 en un mismo plano cartesiano.
En la figura observamos que el único punto que pertenence a ambas líneas rectas es (-1,1); eso significa que la pareja (-1,1) es la solución del sistema. Verifiquémoslo remplazando a x por -1 y a y por 1 en ambas ecuaciones. se trata de un sistema consistente.
4x - y = -5 3x + 4y = 1
4(-1) - (1) = -5 3(-1) + 4(1) = 1
Solucionar, mediante gráficas, el sistema:
$\displaystyle{ \left\{ {3x+2y=6\atop 3x+2y=-2}$
Al trazar la gráfica de las ecuaciones en el mismo plano cartesiano, como se hizo en la figura, observamos que las dos rectas tienen igual pendiente $(\frac{-3}{2})$ y distinto punto de corte con el eje Y (y-intersecto). Como las rectas son paralelas. no se intersectan, por tanto, no hay un par ordenado que sea la solución de ambas ecuaciones. Ene stos casos se dice que el sistema no tiene solución. Es un sistema inconsistente.
resolvamos en forma gráfica el sistema:
$\displaystyle{ \left\{ {2x-y=3\atop 8x-4y=12}$
Al trazar la gráfica de las ecuaciones en un mismo plano, observamos que las rectas coinciden. Se dice entonces que las ecuaciones son equivalentes porque cada una puede obtenerse de la otra mediante la multiplicación o división de sus miembros por un mismo número, diferente de cero, formando así un sistema consistente, con un número infinito de soluciones.
En el siguiente vídeo puedo observar un ejemplo resuelto:
Dirección url del vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=ieiRIATCOUI
PREGUNTA: ¿En el método gráfico que sucede cuando dos gráficas coinciden?

Método de sustitución

Existen numerosas situaciones de la vida real que dan lugar a la formulación de sistemas de ecuaciones, cuyo resultado no es un par de números enteros. En tal caso, la solución del sistema por el método gráfico no es muy exacta. Es necesario entonces recurrir a otros métodos para solucionar sistemas, entre ellos el de la sustitución, el cual estudiaremos a continuación.

Para solucionar sistemas de ecuaciones por sustitución realizamos los siguientes pasos.

Paso 1: Despejamos una de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones.

Paso 2: Sustituimos la expresión hallada, en el paso anterior, en la otra ecuación del sistema y despejamos la incógnita.

Paso 3: Remplazamos el resultado que encontramos en el paso 2 en la ecuación del paso 1 y hallamos el valor correspondiente a la otra incógnita.

Paso 4: Verificamos los valores encontrados para las incógnitas remplazándolas en cada ecuación.

Ejemplo:

Resolvamos por el método de sustitución, el sistema de ecuaciones:

$\displaystyle {\left{ {3x+4y = 18\textrm{(1)}\atop 2x-5y= -11\textrm{(2)}$

Paso 1. Despejamos a x de la ecuación (2)

$2x-5y=-11$
$2x=-11+5y$
$x=-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}y\textrm{(3)}$

Paso 2. Sustituimos la expresión de x en la ecuación (1)

$3[-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}y]+4y=18$
Resolvemos las operaciones:
$-\frac{33}{2}+[\frac{15+8}{2}y]=18$
$\frac{23}{2}y=18+\frac{33}{2}$
Despejamos el valor de $y$ :
$y=3$

Paso 3. Sustituimos el valor de y en la ecuación (3)

$x=-\frac{11}{2}+\frac{5}{2}\textrm{(3)}$
$x=-\frac{11}{2}+\frac{15}{2}$
Resolvemos las operaciones y simplificamos:
$x=2$

La solución del sistema es (2,3).

Paso 4. Verifiquemos la solución en cada ecuación del sistema original.

Ecuación (1)	Ecuación (2)
$3x+4y=18$	$2x-5y=-11$
$3(2)+4(3)=18$	$2(2)-5(3)=-11$
$6+12=18$	$4-15=-11$

En el siguiente vídeo se muestra la explicación de un ejemplo resuelto por el método de sustitución:

Dirección url del vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o

PREGUNTA: El sistema $\displaystyle {\left { {3x+5y=2\atop -6x-y=-4$ ¿su solución es?

Metodo de igualación

Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y luego igualarlas.

Apreciemos el trabajo en el siguiente ejemplo:

$2x+3y=5\, (1)$ $5x+6y=4\, (2)$	Trabajar por separado la ecuación (1) y la ecuación (2). En ambas buscar el valor de $y$ .
$2x+3y=5$ $3y=-2x+5$ $y=\frac{-2x+5}{3}$	Hemos resuelto a y en la ecuación (1). El resultado lo utilizaremos más adelante.
$5x+6y=4$ $6y=-5x+4$ $y=\frac{-5x+4}{6}$	Hemos resuelto a y en la ecuación (2). El resultado lo utilizaremos más adelante.
$\frac{-2x+5}{3}=\frac{-5x+4}{6}$	Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos que están dividiendo pasaran a multiplicar
$6(-2x+5)=3(-5x+4)$ $-12x+30=-15x+12$ $15x-12x=12-30$ $3x=-18$ $x=\frac{-18}{3}$ $x=-6$	Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x"
$2(-6)+3y=5$ $-12+3y=5$ $3y=5+12$ $3y=17$ $y=\frac{17}{3}$	Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones Finalmente hallamos el valor de la variable "y"
Verificamos los valores para $x$ y $y$ en las ecuaciones originales.
$2x+3y=5$ $2(-6)+3(\frac{17}{3})=5$ $-12+17=5$	$5x+6y=4$ $5(-6)+6(\frac{17}{3})=4$ $-30+34=4$

El siguiente vídeo muestra un ejemplo resuelto:

Fuente:https://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY

PREGUNTA: La solución del sistema $\displaystyle {\left{ {4x+y=7\atop 3x-y=5$

Método de eliminación.

Para solucionar un sistema de ecuaciones, también podemos adicionar o sustraer las ecuaciones dadas, o sus equivalentes, con el fin de obtener una nueva ecuación con una sola incógnita.

Los pasos para resolver sistemas de ecuaciones por medio del método de la adición o sustracción son:

Paso 1: Adicionar o sustraer miembro a miembro las ecuaciones, para eliminar una incógnita.

Paso 2: Solucionar la ecuación resultante.

Paso 3: Sustituir el valor obtenido en el paso anterior, en cualquiera de las ecuaciones originales, para hallar el valor de la otra incógnita.

Paso 4: Verificar los valores obtenidos en las ecuaciones originales.

Ejemplo: Resolvamos el sistema $\displaystyle {\left{ {5x+3y=4\textrm{(1)}\atop 3x-2y=10\textrm{(2)}$ , por el método de adición o sustracción.

Paso 1. Multiplicamos la ecuación (1) por el coeficiente de la incógnita x, de la ecuación (2), que es 3, y multiplicamos la ecuación (2) por el coeficiente de la incógnita x, de la ecuación (1), que es 5.	$3(5x+3y)=3(4)\rightarrow 15x+9y=12$ $5(3x-2y)=5(10)\rightarrow 15x-10y=50$
Paso 2. Restamos, miembro a miembro, las dos ecuaciones obtenidas.	$15x+9y=12\atop -\textrm\Large{(15x-10y=50)}\over\Large 0x+19y=-38$
Paso 3. Solucionamos la ecuación obtenida	$19y=-38$ $y=-2$
Paso 4. Sustituimos a y por -2 en cualquiera de las ecuaciones originales.	$5x+3(-2)=4$ $5x-6=4$ $5x=4+6$ $5x=10$ $x=\frac{10}{5}$ $x=2$
También habríamos podido multiplicar las ecuaciones por los coeficientes de la incógnita y.
Paso 5. Verificamos los valores para x “y” y en las ecuaciones originales.
$5x+3y=4$ $5(2)+3(-2)=4$ $10-6=4$	$3x-2y=10$ $3(2)-2(-2)=10$ $6+4=10$

Luego la solución del sistema es (2,-2).

Ejemplo 2:

Resolvamos el sistema: $\displaystyle {\left { {2x-3y=17\textrm{(1)}\atop 5x+3y=11\textrm{(2)}$

Adicionamos, miembro a miembro, los términos de las dos ecuaciones. El término en y se ha eliminado .	$2x-3y=17\atop +\textrm\Large{(5x+3y=11)}\over\Large 7x+0y=28$
Se soluciona la ecuación resultante	$7x=28$ $x=\frac{28}{7}$ $x=4$

Sustituimos el valor 4 para x, en cualquiera de las ecuaciones originales, para obtener el valor de y.

En este caso hemos elegido la ecuación (1) para sustituir el valor $x=4$

$2(4)-3y=17$
$8-3y=17$
$-3y=9$
$y=-3$

Ahora verificamos si los valores x = 4 “y” y = -3 hacen verdaderas las ecuaciones dadas:

$2x-3y=17$
$2(4)-3(-3)=17$
$8+9=17$

$5x+3y=11$
$5(4)+3(-3)=11$
$20-9=11$

Por tanto, (4,-3) es la solución del sistema.

En el siguiente vídeo se explica un ejemplo por medio del método de eliminación:

Dirección url del vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs

PREGUNTA: La solución del sistema $\displaystyle{ \left { {4x+y=-13\textrm{(1)}\atop 4x-7y=-5\textrm{(2)}$ es:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

En ocasiones se necesitan más de dos incógnitas para poder expresar, en el lenguaje algebraico, situaciones de la vida real. Analicemos el siguiente problema.

Para resolver sistemas de tres ecuaciones, debemos convertirlo en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo cual, se sigue el siguiente procedimiento del ejemplo:

Ejemplo 1: Resolver el sistema: $\displaystyle {\left { {2x+3y+z=-7\atop 3x+2y-2z=13\\x-2y+z=-6$

Para convertirlo en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se sigue el siguiente procedimiento:

1) Multiplicamos por 2 la primera ecuación y la sumamos a la segunda, eliminando z:

$4x+6y+2z=-14\atop +\textrm\Large{(3x+2y-2z=13)}\over\Large 7x+8y=-1$

2) Multiplicamos por $-1$ la tercera ecuación y la sumamos a la primera, eliminando de nuevo z:

$2x+3y+z=-7\atop +\textrm\Large{(-x+2y-z=6)}\over\Large x+5y=-1$

3) Reunimos las ecuaciones resultantes y nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\displaystyle {\left { {7x+8y=-1\atop x+5y=-1$

Este sistema puede ser resuelto por cualquiera de los métodos anteriores. Utilizando sustitución, tenemos:

Sustituyendo en la segunda ecuación

$x=-1-5y$

Sustituyendo en la otra ecuación:

$7(-1-5y)+8y=-1$
$-7-35y+8y=-1$
$-35y+8y=-1+7$
$-27y=6$
$y=\frac{6}{-27}$
$y=-\frac{2}{9}$

Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos el valor de $x$ :

$x=-1-5y$
$x=-1-5(-\frac{2}{9})$
$x=-1+\frac{10}{9}$
$x=\frac{1}{9}$

4) Por ultimo, sustituyendo los valores de $x$ y $y$ en la primera ecuación del sistema de partida, obtenemos el valor de z

$2x+3y+z=-7$
$2(\frac{1}{9})+3(-\frac{2}{9})+z=-7$
$\frac{2}{9}-\frac{6}{9}+z=-7$
$-\frac{4}{9}+z=-7$
$z=-7+\frac{4}{9}$
$z=-\frac{59}{9}$

La solución definitiva del sistema es, por tanto $(\frac{1}{9},\, -\frac{2}{9},\, -\frac{59}{9})$

Ejemplo 2: Resolver el sistema: $\displaystyle {\left { {5x+3y+4w=8200\textrm{(1)}\atop 4x+5y + 3w=7550\textrm{(2)}\\2x+1y+2w=3300\textrm{(3)}$

Multiplicando la ecuación (1) por 4, la ecuación (2) por -5 y la ecuación (3) por -2, nos resultan las siguientes ecuaciones:

$20x+12y+16w=32800\,(4)$
$-20x-25y-15w=-37750\,(5)$
$-4x-2y-4w=-6600\,(6)$

Si sumamos las ecuaciones (4) y (5) y también las ecuaciones (2) y (6), se elimina la incógnita x; veamos:

$20x+12y+16w=32800\atop\Large -20x-25y-15w=-37750\over\Large 0x-13y+1w=-4950\textrm{(7)}$ $4x+5y+3w=7550\atop\Large -4x-2y-4w=-6600\over\Large 0x+3y-1w=950\textrm{(8)}$

Sumando las ecuaciones (7) y (8) se elimina la incógnita w:

$-13y+1w=-4950\atop\Large 3y-1w=950\over\Large -10y+0w=-4000$
$-10y=-4000$
$y=400$

Remplazando el valor 400 para y en la ecuación (8) tenemos:

$3(400)-w=950$
$1200-950=w$
$250=w$

Remplazando los valores de y “y” de w en alguna de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (3), podemos hallar el valor de x.

$2x+y+2w=3300$
$2x+400+2(250)=3300$

Resolviendo las operaciones obtenemos el valor de x

$2x+900=3300$
$x=1200$

La solución del sistema es $(1200,\, 400,\, 250)$

Verá en el siguiente vídeo un ejemplo práctico, para comprender mejor la lección:

Fuente del vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=2S9IJbQIqaE

PREGUNTA: Resolver el sistema: $\displaystyle {\left { {8x+4y+z=6\atop 2x-3y+6z=17\\9x+y-3z=2$

A) x=1;, y=-1;, z=2 B) x=1;, y=1;, z=-2 C) x=-1;, y=1;, z=2 D) x=1;, y=1;, z=2

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrado en un par de paréntesis redondos o cuadrados.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Para nombrar las matrices usaremos letras mayúsculas.

Son ejemplo de matriz:

$B=\[\begin{array}{cc}2 & -1\\0 & \frac{3}{2}\end{array}\]$

$E=\[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & -\frac{5}{3} & 5\\ 9 & 17 & -1\end{array}\]$

Cada elemento de la matriz puede localizarse indicando inicialmente el número de la fila n el cual se halla y luego el número de la columna. Para representar cada elemento usaremos el símbolo $a_{jk}$ , donde el subíndice $j$ indica el número de la fila y el subíndice $k$ , de la columna. Los números de filas y columnas de una matriz se llaman dimensiones de la matriz. Los encabezamientos de cada fila y columna no forman parte de la matriz.

Una matriz con $m$ filas y $n$ columnas tiene dimensiones $m*n$ .

Dos matrices A y B son iguales si tienen las mismas dimensiones y para cada elemento $a_{jk}$ de la matriz A, el elemento correspondiente $b_{jk}$ de la matriz B es exactamente el mismo.

PREGUNTA: Las dimensiones de la matriz

$E=\[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & -\frac{5}{3} & 5\\ 9 & 17 & -1\end{array}\]$ son:

Operaciones con matrices

Si dos matrices $M$ y $N$ tienen las mismas dimensiones, la suma de ellas es la matriz $M+N$ , en la cual cada elemento es la suma de los elementos correspondientes de las matrices $M$ y $N$ .

Ejemplo:

$M=\[\begin{array}{cccccc}35 & 25 & 15 & 34 & 17 & 23\\39 & 24 & 5 & 15 & 19 & 12\\24 & 18 & 29 & 12 & 20 & 18\end{array}\]$

$N=\[\begin{array}{cccccc}45&49&35&29&5&43\\23&30&4&11&2&43\\44&15&17&32&29&18\end{array}\]$

$M+N=\[\begin{array}{cccccc}80&74&50&63&22&66\\62&54&9&26&21&18\\68&33&46&44&49&38\end{array}\]$

Es importante tener en cuenta que la adición entre matrices sólo puede efectuarse cuando estas son del mismo tamaño. La suma obtenida es una matriz con las mismas dimensiones de las matrices iniciales.

Si dos matrices $M$ y $N$ tienen las mismas dimensiones, entonces la diferencia de ella es la matriz $M-N$ , en la cual cada elemento es la diferencia entre los elementos correspondientes.

Ejemplo:

Hallar la diferencia entre las matrices $M$ y $N$ .

Aplicando la definicióin anterior obtenemos la matriz $M-N$ .

$M-N=\[\begin{array}{cccccc}-10&-24&-20&5&12&-20\\16&-6&1&4&17&6\\-20&3&12&-20&-9&-2\end{array}\]$

PREGUNTA: Sean las matrices E y A como sigue:

$E=\[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & -\frac{5}{3} & 5\\ 9 & 17 & -1\end{array}\]$ $A=\[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & -\frac{5}{3} \\ 5 & 17\\9 & -1\end{array}\]$ ¿Es posible sumar las matrices E y A?

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Existe una relación muy estrecha entre las matrices y los sistemas. Examinemos el siguiente ejemplo, en el cual resolveremos un sistema con dos ecuaciones lineales por medio de matrices.

Ejemplo:

Resolvamos el sistema $\displaystyle{\left\{{3x-4y=5\atop 2x+5y=-12$ utilizando matrices.

Expresemos el sistema como una matriz. Los elementos que se hallan antes de la línea punteada, son los coeficientes de las incógnitas y los elementos que están después de la línea, son los términos independientes.

matriz1

Notemos que en el proceso, si mantenemos la posición de la variable $x$ siempre a la izquierda de $y$ , podemos prescindir de las letras y de los símbolos $+\, e\, =$ , ya que lo impotante son los coeficientes. de esta forma podemos usar lo que se llama la matriz aumentada del sistema para resolverlo, efectuando las correspondientes operaciones que se hicieron con las ecuaciones en las filas de la matriz.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$ax+by=e\atop\Large cx+dy=f$

La matriz

$\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}$ se llama matriz de coeficientes del sistema.

Y la matriz matriz2 se llama matriz aumentada del sistema.

Para el sistema anterior, la matriz de coeficiente es

$\begin{array}{cc}3&-4\\2&5\end{array}$

y la matriz aumentada es matriz3 .

Después de formar la matriz aumentada de un sistema podemos trabajar con las filas de esta, usando las siguientes trasformaciones, para obtener, en cada paso, una matriz más sencilla, de un sistema equivalente al original.

Pasos para trasformar filas en una matriz

Intercambiamos dos filas
Multiplicamos toda ka fila por el mismo real $k,\, k\neq 0$
Multiplicamos una fila por un número real diferente de cero y adicionamos cada elemento de dicha fila al elemento correspondiente de otra fila.

Para facilitar la explicación de cada paso, usaremos $R_i$ para denotar la fila $l$ . Así, $2R_1$ significa que hemos multiplicado la fila 1 por 2, $-3R_2+R_1$ significa que hemos multiplicado la fila 2 por -3 y hemos adicionado los correspondientes elementos de la fila 1 con los productos obtenidos de la fila 2, y $R_1\longleftrightarrow R_2$ indica que se han intercambiado las filas 1 y 2.

El método que usaremos para hallar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones lineales se resume a continuación.

Ejemplo:

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:

$\displaystyle{\left\{{4x-3y=-15\atop\Large x+2y=-1$

matriz4.1

PREGUNTA: Las matriz aumentada $\begin{bmatrix}{-1}&{1}&{1}\\{-2}&{2}&{2}\end{bmatrix}$ ¿cual es la solución del sistema?

Función

Una función de f de un conjunto A en un conjunto B es una correspondencia que asigna a cada elemento $x$ de A un único elemento y de B.

Frecuentemente en la vida nos encontramos con la noción de correspondencia;por ejemplo, para cada instante de tiempo hay un valor en horas, minutos y segundos.

En la siguiente figura encontramos un ejemplo de correspondencia entre los conjuntos A y B.

función1

Mediante la regla f, se le hace corresponder a cada alumno del conjunto A, su respectivo grado en el conjunto B. Es decir Juan alumno de Noveno, María es alumna de Séptimo y Andrés esta en le grado Once.

El ejemplo anterior de correspondencia determina una función.

El conjunto A se denomina dominio de la función y representa los valores que puede tomar la variable independiente.

El conjunto B se denomina codominio de la función. Algunos o todos sus elementos son imágenes de la función f y se denotan f(x).

Los valores f(X) se denominan rango de la función y representan la variable dependiente.

Ejemplo:

En la siguiente figura, tenemos la correspondencia f de M en T. ¿Es f una función?

De acuerdo con la definición de función, la relación f no es función porque el elemento 1, del conjunto M, le corresponden dos elementos (a y c) del conjunto T.

Una función se puede representar de diferentes formas

Por medio de una expresión como f(x) = 2x - 1
Elaborando una tabla de valores como las siguientes

x	3	1	5
y	5	1	9

Con un conjunto de pares ordenados

$f=\{(3,\, 5),\, (1,\, 1),\, (5,\, 9),\cdots\}$

Mediante un conjunto nombrado por comprensión.

$f=\{(x\, y)|y=2x-1,\, x\in\mathbb{R}\}$

Pendiente de una recta

Se determinará el valor de la pendiente de una recta.

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

Con frecuencia las funciones se pueden estudiar a través de su grafica

Una función afín tiene la forma

$\bf\LARGE y=mx+b$

y su gráfica es una línea recta, donde m es la pendiente y b es la ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y.

Si b = 0, la función es lineal.

Lineal viene de Línea, de manera que una función lineal, es gráficamente una linea.

Sea l una recta no paralela al eje Y, y P(x1, y1), P2(x2, y2) dos puntos diferentes sobre la recta l.

La pendiente m de l se define por :

$m=\frac{y_2- y_1}{x_2-x_1}\, con\, x_2\neq x_1$

2.14

El numerador $y_2-y_1$ en la ecuación que define a m, mide el cambio en la dirección vertical al pasar $P_1\, a\, P_2$ ; puede ser negativo, positivo o cero.

El denominador $x_2-x_1$ mide le camio horizontal al ir de $P_\, a\, P_2$ . El denominador puede ser positivo o negativo pero nunca cero, debido a que $l$ no es paralela a Y.

En la siguiente tabla, tenemos la interpretación geométrica de la pendiente de la recta $r$ .

tabla2.2

Notemos que si la recta $r$ es paralela al eje x, la pendiente es cero. Si la recta $r$ es paralela al eje y, su pendiente no esta definida.

Ejemplo:

Calculemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (6,8) y (2,3).

Solución:

Si nombramos al punto (2,3) como $P_1$ y al punto (6,8) como $P_2$ , tenemos que $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-3}{6-2}=\frac{5}{4}$ . Como la pendiente es positiva, este ejemplo ilustra el caso 1 de la tabla.

Ejemplo 2:

Encontrar la pendiente $\frac{5}{3}x-3y=-1$

Solución:

Como la ecuación $\frac{5}{3}x-3y=-1$ no está en la forma explícita, debemos despejar a $y$ antes de señalar la pendiente.

La ecuación $\frac{5}{3}x-3y=-1$ equivale a $-3y=-\frac{5}{3}x-1$ , de donde $y=\frac{-\frac{5}{3}x-1}{-3}$ .

Luego $y=\frac{5}{9}x+\frac{1}{3}$ . Ahora sí podemos decir que la pendiente de $\frac{5}{3}x-3y=-1$ es $\frac{5}{9}$

PREGUNTA: ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (-2,7) y (3,-3)?

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Por geometría sabemos que dos puntos determinan una recta y que dos o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta.

Puntos Colineales:

Dos o más puntos son colineales si existe una sola recta que los contenga.

A una recta se le puede hacer corresponder una ecuación, si conocemos dos puntos y su pendiente.

Por un punto P1(x1,y1) pasa solamente una recta l con pendiente m. para encontrar la ecuación de la recta l supongammos que P (x,y) es cualquier punto con x ≠ x1, entonces por definición de pendiente tenemos:

$\bf\LARGE\frac{y-y_1}{x-x_1}= m$ , de donde;

La ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es:

$\bf\LARGE y-y_1=m( x-x_1)$

Ejemplo:

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,5) y B (-2,2).

Primero debemos encontrar el valor de la pendiente

La pendiente de la recta está determinada por: $m=\frac{2-5}{-2-1}=\frac{-3}{-3}=1$

Ahora en la ecuación punto-pendiente podemos sustituir las coordenadas del punto A o del punto B para determinar la ecuación de la recta:

$y-2=1( x-(-2))$ asumimos que P1 (x1, y1) es B (-2, 2) y que m = 1
$y-2=x+2$ Simplificamos paréntesis.
$y-4-x=0$ Igualamos a cero la ecuación
$y-x-4=0$ Ordenamos

Otra manera de expresar la ecuación de la recta es $y=x+4$

Sabemos que geometricamente dos o más rectas pueden ser secantes o paralelas, esta clasificación se relaciona con las propiedades de las respectivas pendientes.

Rectas Paralelas: dos rectas son geométricamente paralelas, los ángulos respecto al eje x tienen la misma medida.

Dos rectas cualesquiera $l_1\, y\, l_2$ son paralela si y sólo si tienen la misma pendiente.

2.17a

Rectas Secantes: Si dos rectas no son paralelas, se denominan secantes y se cortan en un solo punto.

2.17c

Dos rectas secantes son perpendiculares si al cortarse forman un ángulo recto.

2.17b

Dos rectas cualesquiera l1 y l2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplo:

analicemos el producto de las pendientes de las rectas $2x - y = 3$ y $-{\frac{1}{2}} x - y = 7$

Es conveniente primero despejar a y en cada recta

$2x-y=3$	$-\frac{1}{2}x-y=7$
$-y=-2x+3$	$-y=\frac{1}{2}x+7$
$y=2x-3$	$y=-\frac{1}{2}x-7$

Consideremos la pendiente de cada recta

$m_1=2$ y $m_2=-\frac{1}{2}$

Hallemos el producto: $m_1*m_2=2(\frac{-1}{2})=-1$ . Las dos rectas son perpendiculares porque el producto de sus pendientes es igual a $-1$ .

PREGUNTA: ¿Cuándo dos rectas son perpendiculares?

Funciones crecientes, decrecientes y constantes.

El valor de la pendiente de una recta nos permite clasificar las funciones lineales y afines, en crecientes, decrecientes y constantes.

la ecuación y = 4 + 2x representa una función afín, cuya gráfica es una línea recta. Para trazar la gráfica hemos construido la siguiente tabla de valores de la ecuación.

X	Y	(X, Y)
0	4 + 2 (0) = 4	(0,4)
2	4 + 2 (2) = 8	(2,8)
5	4 + 2 (5) = 14	(5,14)
6	4 + 2 (6) = 16	(6,16)

2.19.JPG

Observamos que la recta corta el eje Y en el punto (0,4)

Se dice que la intersección con y (y-intersecto) es 4.

Observamos que al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. En este caso la pendiente es positiva, por tanto, se dice que la función es creciente.

Cuando la pendiente de una recta es positiva, la función lineal o afín a la cual representa, es creciente.

Para las funciones de la forma y = mx + b con m < 0 podemos inferir que:

Su gráfica es una línea recta.
su pendiente m es negativa
son funciones decrecientes constantes.

En general podemos afirmar que las funciones lineales y afínes son funciones de crecimiento o decrecimiento constante.

Cuando el valor de la pendiente de una recta es negativo, la función es decreciente.

Cuando el valor de la pendiente de una recta es cero, la funcón es constante.

Trazado de gráficas de la forma y=mx+b

Hay varias formas de trazar la gráfica de la función $y=2x+3$ .

Dibujar el plano cartesiano.
El valor 3 es la intersección de la recta con el eje y. por tanto, ubicamos el punto (0,3)
Sabemos que 2 es la pendiente, lo que significa que por cada cambio de unidad a la derecha le corresponde un cambio hacia arriba de 2. Aplicando este criterio al punto (0,3), tenemos que otro punto de la recta es: (0 + 1, 3 + 2) = (1,5)
Ubicamos este punto en el plano y trazamos la recta.
Comprobemos que el punto (1,5) satisface la ecuación y = 2x + 3

Remplazando el valor del punto en la ecuación de la recta tenemos:

5 = 2(1) + 3, de donde 5 = 5.

También podemos trazar la recta conociendo sólo dos puntos, porque en este caso se aplica el postulado: dos puntos determinan una recta.

Otra manera de dibujar una gráfica de la función afín o lineal es darle valores a la variable independiente y despejar el correspondiente valor para la variable dependiente, y ponerlos en una tabla de valores.

Por ejemplo:

Realizar la grafica de la siguiente ecuación $y=-3x+1$

Solución:

X	Y
-1	4
0	1
1	-2

grafiy=mx+b

PREGUNTA: $y=4x+3$ encontrar los valores de $y$ cuando $x=-1,\, 0,\, 1$

La gráfica de Ax+By=C

Recordemos que las ecuaciones traducen al lenguaje algebraico, las condiciones y relaciones que existen entre los datos de un problema.

Situación 1

Situación 2

Supongamos que compramos p pizzas a $ 1500 cada una y b bebidas a $ 500 cada una.

La expresión que describe lo que pagamos es 1500p + 500b.

Un químico mezcla x onzas de una solución ácida al 20%, con y onzas de otra solución ácida al 30%.

La mezcla final contiene 9 onzas de ácido.

La ecuación que describe la situación es: 0.2x + 0.3y = 9.

Estas expresiones relacionan las variables X y Y mediante una ecuación de la forma Ax + By = C.

Podemos graficar la ecuación de la forma Ax + By = C en el sistema de coordenadas cartesianas, convirtiéndola en una ecuación de la forma y = mx + b, estableciendo explícitamente la pendiente m y el y-intersecto (0,b).

Convirtamos la expresión 0.2x + 0.3y = 9 a la forma y = mx + b, utilizando procedimientos algebraicos:

0.2x + 0.3y = 9

2x + 3y = 90 Multiplicamos por 10 a ambos lados de la igualdad

3y = 90 – 2x Adicionamos -2x a ambos lados.

y = - $\frac{2x}{3}$ + 30 Dividimos por 3 a ambos lados.

La ecuación 0.2x + 0.3y = 9 es equivalente

a la ecuación y = $\frac{-2}{3}$ x + 30

Tiene pendiente igual a $\frac{-2}{3}$ y el intersecto con el eje Y es 30. Podemos afirmar que es una función afín cuya gráfica es una recta decreciente, como se ve en la figura.

Expresar una ecuación afín en la forma y = mx + b tiene como ventaja que podemos determinar inmediatamente el y-intersecto, es decir, el punto (0,b). En el ejemplo corresponde a (0,30).

El intersecto con el eje X es la pareja (x,0), lo que significa hacer Y=0 y despejar la X en la ecuación.

0 = $\frac{-2}{3}$ x + 30

-30 = $\frac{-2}{3}$ x Adicionamos (-30) a ambos lados de la igualdad.

-90 = -2x Multiplicamos por 3 a ambos lados

90 = 2x Multiplicamos por (-1) a ambos lados

45 = x Dividimos por 2 a ambos lados.

La intersección de la recta con el eje X es el punto (45,0). Como ya tenemos dos puntos podemos trazar el segmento de recta entre ellos, que se convierte en recta cuando el dominio y el rango son los números reales.

2.25

Como conclusión podemos decir:

A una expresión de la forma Ax + By se le llama combinación lineal de X y Y.

A las ecuaciones de la forma Ax + By = C se les denomina "forma estándar de la ecuación lineal con dos variables".

PREGUNTA: ¿Cómo se halla el x-intersecto?

Trazado de gráficas de y=ax² + bx + c

Trazado de gráficas de $y=Ax^2+Bx+C$

Recordemos que las gráficas con ecuaciones $y=Ax^2$ se denominan parábolas.

Observemos las siguientes parábolas que tienen las siguientes características.

2.34.JPG

Son cóncavas hacia arriba porque el coeficiente de $x^2$ es mayor que cero.
Tienen un vértice. Gráfica a) Vértice (0,2); Gráfica b) Vértice (12,2); Gráfica c) Vértice (4,-4).
Tienen un eje de simetría. La cual es una línea paralela al eje y.
Gráfica a) El eje de simetría es el eje Y; las gráficas b y c, su eje de simetría es la línea de amarillo.

La ecuación de la gráfica c, es de la forma $y-k=a(x-h)^2$ ; esta ecuación es equivalente a la forma $y=Ax^2+Bx^2+C$ . Veamos porque.

1. $y-k=a(x-h)^2$	Tomamos la ecuación original
2. $y=a(x-h)^2+k$	Adicionamos $k$ a ambos lados de la igualdad
3. $y=a(x^2-2xh+h^2)+k$	Desarrollamos el cuadrado del binomio
4. $y=ax^2-2axh+ah^2+k$	Usamos la propiedad distributiva para el factor $a$
5. Hacemos $B=-2ah$ ; $C=ah^2+k$ ; $A=a$	Y sustituyendo en la expresión anterior, tenemos $y=Ax^2+Bx+C$

De lo anterior se concluye que:

· Una ecuación de la forma $y-k=a(x-h)^2$ es equivalente a la ecuación $y=Ax^2+Bx+C$ .

· La parábola descrita por la ecuación $-k=a(x-h)^2$ es congruente con la parábola descrita por la ecuación $y=Ax^2+Bx+C$ .

· En la ecuación $y=Ax^2+Bx+C$ , $C$ es la ordenada del punto de corte de la gráfica con el eje $y$ .

Si la parábola es cóncava hacia arriba, tiene un mínimo que es el vértice.

Si la parábola es cóncava hacia abajo, tiene un máximo que es el vértice.

Ejemplo:

Tracemos la gráfica de $y=x^2-6x+5$ .

· Trasformamos la ecuación a $y=x^2-6x+5$ en la forma $(y-k)=a(x-h)^2$

· Escribamos a $y=x^2-6x+5$ como $y-5=x^2-6x$

· Debemos expresar $x^2-6x$ como un trinomio cuadrado perfecto. Para ello apliquemos el procedimiento de completación de cuadrado.

· Recordemos que para completar el cuadrado en una expresión cuadrática de la forma $x^2+bx$ , se adiciona el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; o sea: $(\frac{b}{2})^2$ .

$y-5=x^2-6x$	Expresión original
$y-5+(\frac{b}{2})^2=x^2-6x+(\frac{b}{2})^2$	Adicionando el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$ a ambos lados de la igualdad
$y-5+3^2=x^2-6x+3^2$	Simplificando
$y-5+9=x^2-6x+9$
$y+4=(x-3)^2$	Factorizando el trinomio perfecto

· De esta ecuación determinamos el vértice de la parábola: (3,-4).

· Como a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un punto mínimo en su vértice.

· El eje de simetría es $x=3$

· Los valores de la tabla, ayudan a definir mejor la gráfica.

Para construir la tabla damos algunos valores a la variable independiente x.

X	Y
-1	12
0	5
1	0
2	-3
3	-4
4	-3
5	0
6	5
7	12

Si $x=6$

$y+4=(6-3)^2$
$y+4=9$
$y=9-4$
$y=5$

Si $x=5$

$y+4=(5-3)^2$
$y+4=4$
$y=4-4$
$y=0$

PREGUNTA: Completar y factorizar $x^2+12x$

Solución de ecuaciones cuadráticas

Una función definida de números reales a números reales ( $\Re$ en $\Re$ ), cuyos valores están dados por un polinomio de la forma:

$\bf\Large f( x)=ax^2+bx+c$ , donde $a,\, b,\, c\in\R\, y\, a\neq 0$

Toma el nombre de función polinomial de segundo grado o simplemente función cuadrática.

Es conveniente anotar que en $f(x)=ax^2+bx+c$ , la variable o incógnita es $x$ , el número real $a$ es el coeficiente de la variable elevada al cuadrado, $b$ es el coeficiente de la variable elevada a la potencia $1$ , y $c$ es un término constante o independiente.

Formas de la función cuadrática

De acuerdo con la definición de función cuadrática, esta puede tener uno, dos o tres términos. Lo anterior quiere decir que existen forma incompletas y una forma completa, teniendo en cuenta el número de términos; luego se puede clasificar la función cuadrática así:

Formas incompletas:

1. $f( x)=ax^2$

Ejemplos:
$f(x)=3x^2$
$f(x)=6x^2$
$f(x)=\pi x^2$
$f(x)=x^2$

2. $g( x)=ax^2+bx$

Ejemplos:
$g(x)=4x^2+3x$
$g(x)=36x^2+23x$
$g(x)=12x^2+581x$
$g(x)=x^2+3x$
$g(x)=x^2+x$
$g(x)=3x^2+x$

3. $h( x)=ax^2+c$

Ejemplos:
$h(x)=65x^2+3$
$h(x)=58x^2+9$
$h(x)=\pi x^2+3$
$h(x)=x^2+2$
$h(x)=4x^2+\pi$

Forma completa:

$f(x)=ax^2+bx+c$ con a, b, c, $\in$ $\Re$ y a $\neq$ 0

Ejemplos:
$f(x)=8x^2+3x+6$
$f(x)=56x^2+54x+1$
$f(x)=x^2+3x+1$
$f(x)=3x^2+x+3$

Ya hemos visto que no importa que valor acompaña la x ya que puede ser $\pi$ o cualquier otro número real, lo importante para poder indentificar un función cuadrática es ver que el maximo valor del exponente de la x es 2.

Ejemplos practicos:

Hallemos la solución de las ecuaciones

a. $p^2=64$
b. $6h^2=294$

Solución:

a. $p^2=64$ (ecuación dada)
$p=\pm\sqrt{64}$ (raiz en ambos lados de ecuación)
$p=\pm 8$ (recordemos que cuando sacamos una raiz cuadrada siempre va $\pm$ )

La solución es {-8,8}

$6h^2=294$
$h^2=\frac{294}{6}$
$h^2=49$
$h=\pm\sqrt{49}$
$h=\pm 7$

La solución es $\{-7,7\}$

Ejemplo 2:

Un cuadrado tiene de lado $x+3$ y su área es $100\, cm^2$ ; hallemos el valor de $x$ .

Solución:

Tenemos la ecuación $(x+3)^2=100$ de donde:

$x+3=\pm\sqrt{100};\, x+3=\pm 10$
$x=-3\pm 10$
$x=-13$ ó $x=7$

La solución de la ecuación es $\{-13,7\}$ .

Podemos verificar.

Si $x=-13$ , se tiene: $(-13+3)^2=(-10)^2=100$
Si $x=7$ , se tiene: $(7+3)^2=(10)^2=100$

Sin embargo la solución del problema es sólo 7, ya que $x$ representa una longitud.

Expresiones como $p^2,\,(x+3)^2,\,(2x+5)^2$ , se denominan cuadrados perfectos.

Para que una ecuación cuadrática de la forma $(x+a)^2=b$ tenga solución en el conjunto de los números reales, se requiere que $b\geq 0$

Ejemplo: Solucionemos la ecuación: $5(x-9)^2=60$

$5(x-9)^2=60$
$(x-9)^2=12$	Multiplicamos a ambos lados por $\frac{1}{5}$
$(x-9)=\pm\sqrt{12}$	Sacamos raíz cuadrada a ambos lados
$x-9=\pm\sqrt{3}$	Descomponemos a 12 en factores primos y extraemos la raíz cuadrada.
$x=9\pm 2\sqrt{3}$	Adicionamos 9 a ambos lados.

La solución es $\{9-2\sqrt{3},\, 9+2\sqrt{3}\}$ la cual puede verificarse.

Resolvamos, la ecuación $4(3x+1)^2+43=7$

Veamos:

$4(3x+1)^2+43=7$
$4(3x+1)^2=7-43$
$4(3x+1)^2=-36$
$(3x+1)^2=-9$

La ecuación no tiene solución, porque ningún número real, elevado al cuadrado, da como resultado $-9$ .

No toda ecuación cuadrática tiene la forma $(x\pm a)^2=b$ , pero se puede trasformar y llevar a dicha forma, por medio del método llamado completación del cuadrado.

Recordemos el resultado que se obtiene al desarrollar el cuadrado de un binomio:

a.b.c.

En cada caso, el coeficiente de $x^2$ es $1$ y el término constante corresponde al cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$ .

Método de completación del cuadrado.

Si tenemos la expresión $x^2+px$ , observamos que hace falta el término constante para que corresponda al desarrollo del cuadrado de un binomio.

Entonces la expresión dada podemos trasformarla.

$x^2+px+?$

Paso 1. Hallemos la mitad del coeficiente de $x:\frac{p}{2}$

Paso 2. Obtengamos el cuadrado del resultado hallado en el paso anterior: $(\frac{p}{2})^2$

Paso 3. Adicionemos la expresión obtenida en el paso 2 a la expresión $x^2+px$ y factoricemos:

$x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(x+\frac{p}{2})^2$
TENER EN CUENTA: EN UNA ECUACIÓNDE LA FORMA $ax^2+bx+c$ EL TERMINO $c=(\frac{b}{2})^2$
Ejemplo:

Completemos el cuadrado en:

$x^2-18x$

Solución:

$x^2-18x+?$
Paso 1. $(-\frac{18}{2})=-9$
Paso 2. $(-9)^2=81$
Paso 3. $x^2-18x+81=(x-9)^2$

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación $10x^2-17x+3=0$

Solución:

U4L1

U4L11

U4L111

PREGUNTA: ¿El conjunto solución de $x^2+ 5x -14=0$ es?

Fórmula cuadrática

FÓRMULA CUADRÁTICA

Toda expresión de la forma $ax^2+bx+c=0$ es una ecuación de segundo grado con una incógnita. Los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ son números reales, positivos o negativos. Se requiere que $a$ sea diferente de cero para que la ecuación sea de segundo grado; los coeficientes $b$ y $c$ pueden ser $0$ .

Solucionemos la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ completando el cuadrado:

$ax^2+bx+c=0$
$ax^2+bx=-c$	Adicionamos – c a ambos lados
$x^2+(\frac{b}{a})x =-\frac{c}{a}$	Dividimos entre $a\neq 0$ cada término de la ecuación.
$x^2+(\frac{b}{a})x+(\frac{b}{2})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$	Completamos el cuadrado adicionando $(\frac{b}{2a})^2$ a cada lado.
$[x+(\frac{b}{2a})]^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$
$[x+(\frac{b}{2a})]^2=\frac{-4ac+b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
$x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$		Si $b^2-4ac\geq 0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

La última expresión que indica la solución de la ecuación, se conoce con el nombre de fórmula cuadrática. Esta nos da las raíces de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ en términos de los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ .

La ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ tiene dos soluciones que corresponden a números reales, cuando $b^2-4ac>0\, y\, a\neq 0$ . Tales soluciones son:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Si $b^2-4ac=0$ , las dos soluciones coinciden. Se tiene entonces;

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm 0}{2a}=\frac{-b}{2a}$

Si $b^2-4ac<0$ la ecuación cuadrática no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Como el valor de $b^2-4ac$ discrimina o diferencia el número de raíces de la ecuación cuadrática, se conoce con el nombre de discriminante de $ax^2+bx+c=0$ .

Ejemplo 1:

Hallemos la solución de la ecuación $9x^2-4x-5=0$

En este caso tenemos: $a = 9$ ; $b = -4$ y $c = -5$

Como $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , para los valores dados queda:

$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(9)(-5)}}{2(9)}$ $x=\frac{4\pm\sqrt{16+180}}{18}=\frac{4\pm\sqrt{196}}{18}=\frac{4\pm 14}{18}$ $x_1=\frac{4+14}{18}=\frac{18}{18}=1$ $x_2=\frac{4-14}{18}=\frac{-10}{18}=-\frac{5}{9}$

El conjunto solución de la ecuación es: ${-\frac{5}{9},\, 1}$

Ejemplo 2:

Resolver la ecuación $4m^2-12m=-9$

Solución:

Primero igualamos a cero la ecuación: $4m^2-12m+9=0$

En este caso $a = 4$ , $b = -12$ y $c = 9$

$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Luego: $m=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4(4)(9)}}{2(4)}$ $m=\frac{12\pm\sqrt{144-144}}{8}=\frac{12\pm 0}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

El conjunto solución de la ecuación es ${\frac{3}{2}}$ , un solo valor, pues $b^2-4ac=0$

Ejemplo 3:

Solucionar la ecuación $3z^2+5z+1=0$ , usando la fórmula cuadrática.

En este caso $a = 3$ , $b = 5$ , $c = 1$

$z=\frac{-5\pm\sqrt{(5)^2-4(3)(1)}}{2(3)}$ $z=\frac{-5\pm\sqrt{25-12}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$

El conjunto solución es : ${\frac{-5-\sqrt{13}}{6},\,\frac{-5+sqrt{13}}{6}$

Hemos visto varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Resumen de los métodos vistos.

Método	Cuándo usamos este método
1. Fórmula cuadrática.	Si en la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ se tiene $b\neq 0,\, y \, c\neq 0$
2. Factorizando $x$ .	Si la ecuación cuadrática es la forma $ax^2+bx=0,\, c=0$
3. Haciendo uso de las propiedades de las raíces cuadradas de números iguales.	Si la ecuación cuadrática es de la forma $ax^2+c=0,\, b=0$
4. Factorización.	Si la ecuación cuadrática es de la forma $ax^2+bx+c=0$ y existen $m,n\in z$ , tales que m * n = a * c y $m\pm n=b$
5. Completando el cuadrado.	Si la ecuación cuadrática es de la forma $ax^2+bx+c=0$ y $b\neq 0,\, c \neq 0$

Ejemplo 4:

Resolvamos la ecuación $3q^2-7q+2=0$

Aquí podemos usar la fórmula cuadrática, el método de factorización o la completación del cuadrado. Como $b = -7$ es impar, no usamos el último porque es más complicado.

Solución:

Formula cuadrática	Factorización
$3q^2-7q+2=0$	a * c = 6, b = -7 = - 6 + (-1)
$q=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-432}}{2*3}$	$3q^2-6q-q+2=0$
$q=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}$	3q(q – 2) – 1(q – 2) = 0
$q=\frac{7\pm\sqrt{25}}{6}=\frac{7\pm 5}{6}$	(3q – 1)(q – 2) = 0
$q_1=\frac{7+5}{6}=\frac{12}{6}=2$	3q – 1 = 0 o q – 2 = 0
$q_2=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$	$q_1=\frac{1}{3}\, o \, q_2=2$

El conjunto solución es $\{\frac{1}{3},\, 2\}$ .

PREGUNTA: La solución de la ecuación $5y^2+3y+4=0$ es:

Gráfica de la función cuadrática

En la unidad $2$ vimos el trazado de gráficas de funciones cuadráticas, ahora estudiaremos cómo los ceros de estas funciones son, a su vez, soluciones de la ecuación cuadrática.

Comencemos por analizar la gráfica de la función $f$ definida por la ecuación $f(x)=x^2-4x+3$

Hagamos una tabla de valores y hallemos las coordenadas de algunos de los puntos de la gráfica de al función: $y=x^2-4x+3$

$y-3=x^2-4x$
$y-3+4=x^2-4x+4$
$y+1=(x-2)^2$
$y=(x-2)^2-1$

Notemos que hay dos valores distintos de $x$ que dan exactamente el mismo valor para $y$ .

x	$y=(x-2)^2-1$
-1	8
0	3
1	0
2	-1
3	0
4	3
5	8

4.4

El único valor de $x$ que no tiene otro valor para $y$ , es $x = 2$ . Además como $(x-2)^2\geq 0$ para todo valor de $x$ , entonces $(x-2)^2-1\geq -1$ . Eso significa que el valor mínimo para $y$ es $-1$ , que se obtiene cuando $x = 2$ .

Teniendo en cuenta el análisis anterior, podemos hacer un bosquejo de la gráfica, como se muestra en la figura.

La parábola de la función $f(x)=x^2-4x+3$ es cóncava hacia arriba porque $a\geq 1$ y el punto de coordenadas $(2, -1)$ es el punto mínimo que corresponde al vértice. La recta vertical de ecuación $x = 2$ se llama eje de simetría de la parábola. El punto de coordenadas $(0,3)$ es el y-intersecto y los puntos de coordenadas $(1,0)$ y $(3,0)$ son los x-intersectos. Notemos que las abscisas de esos puntos, es decir $1$ y $3$ , son las soluciones de las ecuación $f(x)=x^2-4x+3$ .

Como anotamos anteriormente, todos los puntos de una parábola, excepto el vértice, aparecen en pares que tienen la misma ordenada y diferente abscisa; la abscisa en el vértice corresponde al valor medio entre los valores de las abscisas de puntos con igual ordenada.

Si representamos las gráficas de las ecuaciones $y=x^2+6x+5;\, y=x^2+6x;\, y=x^2+6x-7$ en la figura, vemos que todas ellas tienen la misma abscisa en el vértice.

4.5.5

Las ecuaciones se diferencian |entre sí sólo por el término independiente. Podemos hallar una expresión para la abscisa del vértice de la parábola $y=ax^2+bx+c$ . Si en la ecuación $y=ax^2+bx$ buscamos los puntos donde la curva corta al eje $x$ , es decir, los puntos donde la ordenada vale $0$ , tenemos:

$y=ax^2+bx=0$

$x(ax+b)=0$ , luego: $x=0$ o $ax+bx=0$

$ax=-b$

$x=-\frac{b}{a}$

El valor medio entre los dos valores de x es $-\frac{b}{2a}$ . Por tanto, el valor de la abscisa del vértice de la parábola es $-\frac{b}{2a}$ .

Remplazando el valor de $x$ en la ecuación de la parábola, podemos hallar la ordenada del vértice.

$y=a(\frac{-b}{2a})^2+b(\frac{-b}{2a})+c$

$y=a\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c$

$y=a\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c$

$y=a\frac{-b^2}{4a}+c$

$y=c-\frac{b^2}{4a}$

Por tanto, las coordenadas del vértice de una parábola de ecuación $y=ax^2+bx+c$ son $(\frac{-b}{2a}\,\, ;\,\, c-\frac{b^2}{4a})$

Hemos encontrado dos maneras de hallar las coordenadas del vértice de la parábola, una como aparece en ele desarrollo anterior, y la otra, completando el cuadrado, como se hizo en el primer caso desarrollado en la lección. Cuando se obtiene la expresión de la forma $y=a(x-h)^2+k,\, (h, k)$ son las coordenadas del vértice.

La ecuación del eje de simetría de la parábola es $x=-\frac{b}{2a}$ .

Ejemplo:

Representemos la curva de ecuación $y=x^2-7x+11$ ; hallemos las coordenadas del vértice y de los interfectos con los ejes.

Solución:

En este caso tenemos $a = 1$ , $b = -7$ , $c = 11$ .

Coordenadas del vértice: $v(\frac{-(-7)}{2*1},\, 11-\frac{(-7)^2}{4*1})=(\frac{7}{2},\, -\frac{5}{4})$

Interfectos:

Con el eje $y$ : si $x = 0$ , entonces $y=0^2-7*0+11=11$

El intersecto con el eje $y$ es el punto de coordenadas (0,11).

Con el eje $x$ : si $y = 0$ , entonces $x^2-7x+11=0$

$x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4*1*11}}{2*1}=\frac{7\pm\sqrt{49-44}}{2}$

$x_1=\frac{7+\sqrt{5}}{2},\,\,\,\,\,\,\, x_2=\frac{7-\sqrt{5}}{2}$

4.6

Hay dos intersectos con el eje $x$ , $(x=\frac{7-\sqrt{5}}{2},0)\, (\frac{7+\sqrt{5}}{2},0)$ , ya que la ecuación $x^2-7x+11=0$ tiene dos raíces reales. La gráfica se muestra en la figura.

El rango de la función es $[-\frac{5}{4},+\infty)$

PREGUNTA: Las coordenadas del vértice de la función $y=-x^2-4x-4$ son:

Desigualdades cuadráticas

Hemos aprendido a hacer un modelo de la grafica de funciones de la forma $y=ax^2+bx+c=0$ . Ahora estudiaremos algunos casos de desigualdades cuadráticas. La gráfica de estas desigualdades consta de todos los puntos $(x,y)$ que son solución de la desigualdad.

Analicemos la gráfica de los puntos que satisfacen la desigualdad $y\geq x^2-3$ .

Los puntos que cumplen la ecuación $y=x^2-3$ son los de la parábola que abre hacia arriba, cuyo vértice esta en (0,-3) y sus x-intersectos son $(-\sqrt{3},0)\, y\, (\sqrt{3}{0},0)$ , como se muestra en la figura.

4.12

La curva divide el plano entres regiones: los puntos dentro de la curva, los puntos en la curva y los puntos fuera de esta. ¿Cuáles de esos puntos satisfacen la desigualdad?

Por ejemplo, todos los que tienen abcisa $0$ y ordena mayor que $-3$ , ya que si $x=0$ , la desigualdad se trasforma en $y>0^2-3\, o\, y>-3$ , por ejemplo (0,1), (0,15), porque $1>0^2-3\, y\, 15>0^2-3$

Si analizamos la relación que existe entre la ordenada y la abcisa de los puntos que están sobre la recta $x=1$ , encontramos que le punto $(1,-2)$ pertenece a la parábola, y todos los puntos $(1,y)$ con $y>-2$ , son puntos de la región que estamos tratando de determinar. Por ejemplo $(1,-1)$ ; $(1,0)$ ; $(1,5)$ , están en la región, porque:

$-1>1^2-3=-1>-2$
$0>1^2-3=0>-2$
$5>1^2-3=5>-2$

En resumen, cumplen la desigualdad, todos los puntos del plano que están sobre la parábola por encima de ella. Los puntos que cumplen la desigualdad corresponden a la región sombreada que se muestra en la figura.

Cuando los puntos de la curva pertenecen a la gráfica de la región, se dice que la región es cerrada, si no pertenecen, se dice que la región es abierta.

La gráfica de la región sombreada corresponde a la relación ${(x,y)|y\geq x^2-3}$ . El dominio de la relación son los números reales, y el rango son los números reales mayores o iguales que $-3$ , puesto que $-3$ es la ordenada del vértice de la parábola, el punto más bajo de la curva.

4.13

Ejemplo 1:

Tracemos la gráfica de los puntos del plano que satisfacen la desigualdad $y<x^2-7x+6$

Tracemos primero los puntos de la parábola $y=x^2-7x+6$ , con línea interrumpida, puesto que esos puntos no satisfacen la desigualdad.

La parábola abre hacia arriba, su vértice es el punto $(\frac{7}{2},\, -\frac{25}{4})$ , el y-intersecto es $(0,6)$ , los x-intersectos son $(1,0)$ .

4.14

Ahora localicemos algunos puntos que satisfacen la desigualdad. Si trazamos en el mismo plano donde está la gráfica de la parábola la recta $x = 2$ , el punto $(2,-4)$ de la recta queda sobre la parábola. Los puntos de abcisa $2$ y ordenada menor que $-4$ , satisfacen la desigualdad dada. Por ejemplo, los puntos de coordenadas $(2,-6)$ , $(2,-13)$ , $(2,-25)$ , porque:

$-6<2^2-7*2+6;\,\,\, -6<-4$
$-13<2^2-7*2+6;\,\,\, -13<-4$
$-25<2^2-7*2+6;\,\,\, -25<-4$

De igual manera los puntos de la recta $x = -3$ cuya coordenada sea menor que $6$ , satisfacen la desigualdad. Por ejemplo $(-3,5)$ , ya que $5<(-3)^2-7*(-3)+6;\, 5<36$ . Por tanto, satisfacen la desigualdad todos los puntos del plano que están por debajo de la parábola de la ecuación $y=x^2+7x+6$ . La región sombreada que se muestra en la figura corresponde a la grafica de los puntos que satisfacen la desigualdad.

El dominio y el rango de la relación son los números reales.

4.15

Ejemplo 2:

Realicemos la gráfica de los puntos del plano que satisfacen simultáneamente las condiciones: $y\leq 5-4x-x^2\,\,\, y\,\,\, y\geq x$

Primero ubicamos los puntos de la parábola $y\leq 5-4x-x^2$ . Está tiene por vértice a $(-2,9)$ , y-intersecto a (0,5), x-intersectos a (-5,0), (1,0) y abre hacia abajo.

Ahora ubicamos los puntos que satisfacen la primera desigualdad que son, además de los que pertenecen a la parábola, todos los que están por debajo de la parábola. En la grafica correspondiente a la región sombreada con verde.

Posteriormente ubicamos la recta de la ecuación $y=x$ y, por ultimo, los puntos que satisfacen la desigualdad. En la grafica es la región sombreada con rojo.

Los puntos del plano que satisfacen simultáneamente las dos condiciones son los que pertenecen a la región que en la gráfica tiene los dos colores, es decir, la intersección entre las regiones determinadas por las desigualdades $y\leq 5-4x-x^2\,\,\, y\,\,\, y\geq x$ , que se muestra en la figura.

4.16

Las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta la podemos encontrar resolviendo el sistema.

$\displaystyle\left\ { {y=5-4x+x^2\,\, (1)\atop\Large y=x\,\, (2)}$

Remplazando (2) en (1) tenemos: $x=5-4x+x^2$ igualando a cero la ecuación tenemos: $x^2+5x-5=0$

Resolviendo para x: $x=\frac{-5\pm\sqrt{25+20}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2}$

Como la ecuación (2) exige que la ordenada y la abcisa sean iguales, la solución del sistema son los pares $(\frac{-5-\sqrt{45}}{2},\,\frac{-5-\sqrt{45}}{2})\, y \, (\frac{-5+\sqrt{45}}{2},\,\frac{-5+\sqrt{45}}{2})$

El dominio de la relación que satisface simultáneamente las condiciones dadas es el intervalo $[\frac{-5-\sqrt{45}}{2},\,\frac{-5+\sqrt{45}}{2}]$ . El rango de la relación es el intervalo $[\frac{-5-\sqrt{45}}{2},\,9]$ .

PREGUNTA: Una desigualdad cuadrática se identifica por que: