Matemáticas 10º y 11º

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MAURICIO MUÑOZ MATEMÁTICO FÍSICO UNIVALLE 

MATEMÁTICAS 10°

VIDEO TEMA TRIGONOMETRIA 

Ángulos

Los ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

 

ang

Un ángulo se dice positivo si la semirrecta OQ gira en el sentido contraria al de las manecillas del reloj.

Un ángulo se dice negativo si la semirrecta OQ gira en el sentido de las manecillas del reloj.

+angulo

Así mismo , un ángulo pertenece al cuadrante en el que esta ubicado su lado terminal.

CUADRANTE 1: Comprende el eje positivo de x y el eje positivo de y.

CUADRANTE 2: Comprende el eje negativo de x y el eje positivo de y.

CUADRANTE 3: Comprende el eje negativo de x y el eje negativo de y.

CUADRANTE 4: Comprende el eje positivo de x y el eje negativo de y.

Observa:

Clases de ángulos

Ángulo recto: está formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolución, es decir, 90º.

Ángulo obtuso: un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a 90° pero menor a 180°.

Ángulo agudo: un ángulo agudo tiene una abertura mayor a 0° pero menor a 90°

 Ángulo llano o plano: es aquel cuyo ángulo es de 180°

 

PREGUNTA: ¿Es posible medir distancias con ángulos únicamente?

Medida de ángulos

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Para medir una ángulo acudimos a tres sistemas: el sistema sexagesimal, el sistema cíclico y el sistema centesimal.

Sistema sexagesimal

La circunferencia se divide en 360 partes iguales y a cada parte es lo que llamamos un grado sexagesimal.

Las unidades sexagesimales son:

Grado (1°) que equivale a 60 minutos (60´).

Minuto (1´)que equivale a 60 segundos (60´´).

sex

Sistema cíclico

La unidad de medida es el radián.

RADIÁN: el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo, es decir, la longitud (r) del arco formado por el ángulo de dos semirectas que también son de longitud r.

1 radián=57°18'

ánguloradian

Ingresa a https://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/radianes.html para que participes en una actividad interactiva.

Se verifica entonces que:

\frac{\text{Longitud de la circunferencia}}{\text{Longitud del radio}}=\frac{2 \pi r}{r}=2 \pi

Como la circunferencia contiene su radio 2 \pi veces, resulta que un ángulo giro o de una vuelta mide 2 \pi radianes.

PREGUNTA: ¿La expresión 1° equivale a 3600´´ es correcta?

Cambio de un sistema a otro

En la practica se hace necesario expresar un ángulo dado en sistema cíclico en el sistema sexagesimal y el caso contrario.

Para cambiar de un sistema a otro se establece la siguiente proporción

\LARGE\frac{sexagesimales}{360}=\frac{radianes}{2 \pi}

Esto significa que 360^\circ=2\pi

La proporción permite calcular una de las medidas conocida la otra.

Ejemplo:

Expresar el ángulo 60° en radianes.

Solución:

Consideramos la proporción formada por los extremos de la fórmula anterior.

 

\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{radianes\, (rad)}{2\pi}\Leftrightarrow radianes=\frac{2\pi*60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\, rad 

PREGUNTA: ¿A cuanto equivale el ángulo \frac{2\pi}{5} radianes en sistema sexagesimal?

Definiciones de las funciones trigonométricas.

Consideremos una circunferencia de radio r y centro el punto (0,0). La ecuación de dicha circunferencia es:

\bf\LARGE x^2+y^2=r^2.

Cualquier punto (x,y) de la circunferencia satisface la ecuación x^2+y^2=r^2.

Llamaremos \theta al ángulo que determina la semirrecta \vec{OP} que corta a la circunferencia en el punto P: (x,y)

Si tenemos un ángulo \theta en posición normal , en un sistema de coordenadas cartesianas, y una semirrecta \vec{OP} que corta a la circunferencia de centro C: (0,0) en el punto P: (x,y). Definimos las funciones o razones trigonométricas con respecto al ángulo \theta así:

Las tres razones trigonométricas directas del ángulo \theta son:

Seno de \theta:\,\, sen\theta=\frac{ordenada}{radio}=\frac{\bar{PQ}}{r}= \frac{y}{r}

Coseno de \theta:\,\, cos\theta=\frac{abscisa}{radio}= \frac{\bar{OQ}}{r}= \frac{x}{r}

Tangente de \theta:\,\, tan\theta=\frac{ordenada}{abscisa}= \frac{\bar{PQ}}{\bar{OQ}}= \frac{y}{x}

tan\theta=\,\frac{sen\theta}{cos\theta}

Las tres razones trigonométricas inversas de las anteriores son:

Cosecante de \theta:\, csc(\theta)=\frac{radio}{ordenada}= \frac{r}{\bar{PQ} }= \frac{r}{y}

csc\theta=\,\frac{1}{sen\theta}

Secante de \theta: sec(\theta)=\frac{radio}{abscisa}= \frac{r}{\bar{OQ}}= \frac{r}{x}

sec\theta=\,\frac{1}{cos\theta}

Cotangente de \theta: ctg(\theta)=\frac{abscisa}{ordenada}= \frac{\bar{OQ}}{\bar{PQ}}= \frac{x}{y}

ctg\theta=\,\frac{1}{tan\theta}

Los valores de \theta\in\mathbb{R} se expresan en grados sexagesimales o en radianes principalmente.

PREGUNTA: Dado que x^2+y^2=r^2, ¿se cumple que sen^2(\theta)+ cos^2(\theta)=1 para cualquier ángulo?

Funciones trigonométricas para ángulos notables

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

Los ángulos notables son aquellos cuyas razones trigonométricas pueden ser calculados mediante consideraciones geométricas elementales.

 

Los ángulos notables son: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º y preferentemente se utilizan para ilustran ejemplos en matemáticas y física.

Analicemos los valores para las seis funciones trigonométricas de los ángulos de 0º=360º, 90º, 180º, 270º.

\theta

sen\,\theta

cos\,\theta

tan\,\theta

ctg\,\theta

sec\,\theta

csc\,\theta

0º

0

1

0

Indeterminada

1

Indeterminada

90º

1

0

Indeterminada

0

Indeterminada

1

180º

0

-1

0

Indeterminada

-1

Indeterminada

270º

-1

0

Indeterminada

0

Indeterminada

-1

Los ángulos de 30º, 45º y 60º, serán estudiados en la siguiente unidad, en virtud de la aplicabilidad que tienen en la solución de triángulos isósceles, equiláteros y rectángulos.

PREGUNTA: ¿Cuánto es el valor de \frac{cos(90)}{sec(180)}?

A) INDETERMINADO   B) 1 C) -1   D) 0

SIGNOS DE LOS VALORES DE LAS FUNCIONES

El signo del valor de una función trigonométrica esta determinado por el signo de las coordenadas del punto de intersección del lado final del ángulo en posición normal, con la circunferencia.

Función seno y función cosecante

Dado que el radio r es una distancia se considera siempre positivo. Así las expresiones:

sen\,\theta=\frac{y}{r}\,\,\,\, y\,\,\,\, csc\,\theta=\frac{r}{y}

Tienen el signo de la ordenada. Luego las funciones seno y cosecante son positivas en los cuadrantes I y II y son negativas en los cuadrantes III y IV.

Función coseno y función secante

Con la misma consideración del radio positivo, las expresiones

cos\,\theta=\frac{x}{r}\,\,\,\, y\,\,\,\, sec\,\theta=\frac{r}{x}

tienen el mismo signo de la abscisa. Luego las funciones coseno y secante son positivas en los cuadrantes I y IV y son negativas en los cuadrantes II y III.

Función tangente y función cotangente

Al analizar las funciones tangente y cotangente observamos que no dependen del radio y en consecuencia, dependen de los signos de la abscisa y de la ordenada.

tan\,\theta=\frac{y}{x}\,\,\,\, y\,\,\,\, ctg\,\theta=\frac{x}{y}

Por tanto las funciones tangente y cotangente son positivas en los cuadrantes I y III en los cuales la abscisa y la ordenada tienen el mismo signo, y son negativas e los cuadrantes II y IV ya que la abscisa y la ordenada tienen diferente signo.

El siguiente cuadro resume las posibilidades que tienen los signo para las seis funciones trigonométricas.

CUADRANTE

SENO

COSENO

TANGENTE

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

I

+

+

+

+

+

+

II

+

-

-

-

-

+

III

-

-

+

+

-

-

IV

-

+

-

-

+

-

 

PREGUNTA: ¿Qué signo tendrá la función f(\theta)=\frac{Sec(\theta)}{Sen(\theta)} en el cuadrante IV?

Determinación de las razones trigonométricas

DETERMINACIÓN

Podemos redefinir las razones trigonométricas de puntos (x,\, y) de una circunferencia de centro (0,\, 0), para triángulos rectángulos, considerando que le radio corresponde a la hipotenusa.

En el triangulo ABC, rectángulo en B y con un ángulo \theta que tiene como vértice a A sobre el origen, se definen las siguientes razones:

sen\,\theta=\frac{cateto\, opuesto}{hipotenusa}=\frac{a}{b}\,\,\,\, csc\,\theta=\frac{hipotenusa}{cateto\, opuesto}=\frac{b}{a}

cos\,\theta=\frac{cateto\, adyacente}{hipotenusa}=\frac{c}{b}\,\,\,\, sec\,\theta=\frac{hipotenusa}{cateto\, adyacente}=\frac{b}{c}

tan\,\theta=\frac{cateto\, opuesto}{ cateto\, adyacente }=\frac{a}{c}\,\,\,\, ctg\,\theta=\frac{ cateto\, adyacente }{cateto\, opuesto}=\frac{c}{a}

Si llamamos ca al cateto adyacente, co al cateto opuesto y hi a las hipotenusa podemos resumir así:

sen\,\theta

cos\,\theta

tan\,\theta

ctg\,\theta

sec\,\theta

csc\,\theta

\frac{co}{hi}

\frac{ca}{hi}

\frac{co}{ca}

\frac{ca}{co}

\frac{hi}{ca}

\frac{hi}{co}

Ejemplo:

Hallar las cinco razones trigonométricas que faltan sabiendo que \theta es un ángulo del primer cuadrantes y cos\,\theta=\frac{5}{7}.

Solución:

Sabemos que cos\,\theta=\frac{x}{r}=\frac{5}{7}. Por lo tanto x=5\,\, y\,\, r=7

Ahora, consideremos el triángulo rectángulo OAP:

determ

Por el teorema de pitágoras:

7^2=y^2+5^2

y=\sqrt{24}=2\sqrt{6}

Así podemos encontrar las razones trigonométricas restantes:

Luego:

sen\,\theta=\frac{2\sqrt{6}}{7};\,\,\,\, tan\,\theta=\frac{2\sqrt{6}}{5};\,\,\,\, ctg\,\theta=\frac{5}{2\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{12}

sec\,\theta=\frac{7}{5};\,\, y\,\, csc\,\theta=\frac{7}{2\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{12}

PREGUNTA: Si definiésemos la función f(x)=\frac{sec(\theta)}{cos(\theta)} esta correspondería a la siguiente razón:

Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 45º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Para cada ángulo \theta del primer cuadrante, hay tres ángulos que llamaremos asociados a \theta, que tienen sus razones trigonométricas iguales en valor absoluto. Estos ángulo se determinan sobre la circunferencia y del origen.

Los ángulos asociados a \theta son:

  • \theta en radianes: \pi-\theta,\,\pi+\theta,\, 2\pi-\theta
  • \theta en grados: 180-\theta,\, 180+\theta,\, 360-\theta

Los ángulos asociados a 45º son 135º, 225º y 315º

para \theta=45^{\circ} el triangulo OPQ es rectángulo e isósceles, pues sus ángulos O y P son de 45º, luego sus catetos son iguales. Estos catetos OQ=x y PQ=x coinciden con el valor de seno y el coseno del ángulo de 45º.

Consideremos la circunferencia de radio 1.

Aplicando el teorema de Pitágoras a dicho ángulo triangulo se tiene:

1=x^2+x^2 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}

Por tanto las razones de 45º y sus ángulos asociados son los que se indican en la siguiente tabla:

\theta

sen(\theta)

cos(\theta)

tan(\theta)

ctg(\theta)

sec(\theta)

csc(\theta)

45º

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

1

1

\frac{2}{\sqrt{2}}

\frac{2}{\sqrt{2}}

135º

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

1

1

-\frac{2}{\sqrt{2}}

-\frac{2}{\sqrt{2}}

225º

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

1

1

-\sqrt{2}

-\sqrt{2}

315º

-\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

-1

-1

\sqrt{2}

-\sqrt{2}

 

PREGUNTA: Los ángulos asociados a 45º en radianes son:

Razones trigonométricas de ángulos asociados a 60º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ASOCIADOS A 60º

Para \theta=60^{\circ} el triangulo OP_1S es equilátero, pues \overline{OS}=\overline{OP} y el ángulo en O es de 60^{\circ}. Ademas, la altura h lo divide en dos triángulos rectángulos de hipotenusa igual a 1.

Los ángulos asociados a 60º con 120º, 240º y 300º.

60°

Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo OQP, se tiene:

h=\sqrt{1-\frac{1}{2}^2}=\sqrt{1-1/4}=\sqrt{3/4}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Luego: sen(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2} y el cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}. En la tabla siguiente encontramos los demás valores:

\theta

sen(\theta)

cos(\theta)

tan(\theta)

ctg(\theta)

sec(\theta)

csc(\theta)

60º

\frac{\sqrt{3}}{2}

1/2

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

2

\frac{2\sqrt{3}}{3}

120º

\frac{\sqrt{3}}{2}

-1/2

-\sqrt{3}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

-2

\frac{2\sqrt{3}}{3}

240º

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-1/2

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

-2

-\frac{2\sqrt{3}}{3}

300º

-\frac{\sqrt{3}}{2}

1/2

-\sqrt{3}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

2

-\frac{2\sqrt{3}}{3}

EJEMPLO: Comprobar que es cierta la siguiente igualdad sustituyendo las razones que aparecen por sus valores numericos.

tan\, 45^{\circ}=\frac{sen\, 45^{\circ}}{cos\, 315^{\circ}}

Solución:

Reemplacemos los valores sirviéndose de las tablas anteriores:

tan\, 45^{\circ}=1,\,\, sen\, 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,\, y\,\, cos\, 315^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} de lo cual, 1=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1

PREGUNTA: El valor de tan(60).ctg(240) es:

Razones trigonométricas de ángulos asociados a 30º

Para \theta=30^{\circ} el triangulo OP_1P_4 tiene sus ángulos de 60^{\circ}, luego es equilátero. Al trazar su altura h se forman dos triángulos rectángulos.

Los ángulos asociados a 30^{\circ} son 150º, 210º y 330º.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo OQP, se tiene:

h=\sqrt{1-\frac{1}{2}^2}=\sqrt{1-1/4}=\sqrt{3/4}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Por definición resulta que sen(30º)=1/2 y cos(30º)=\sqrt{3}/2. En la tabla siguiente encontramos los demás valores:

\theta

sen(\theta)

cos(\theta)

tan(\theta)

ctg(\theta)

sec(\theta)

csc(\theta)

30º

1/2

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

\frac{2\sqrt{3}}{3}

2

150º

1/2

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

-\sqrt{3}

-\frac{2\sqrt{3}}{3}

2

210º

-1/2

-\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

-\frac{2\sqrt{3}}{3}

-2

330º

-1/2

\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

-\sqrt{3}

\frac{2\sqrt{3}}{3}

-2

PREGUNTA: el valor de sen(330)-sen(150)+tan(30).ctg(210) es:

Reducción de ángulos al primer cuadrante

Para comprender el proceso de reducción de razones trigonométricas para ángulos agudos, es decir, para ángulos ubicados en el primer cuadrante comprendidos entre 0° y 90°, haremos uso del siguiente vídeo:

Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=0alEBfZhUco

PREGUNTA: La reducción de tan 750° usando el segundo caso es:

Problemas con funciones trigonométricas

Antes de analizar las situaciones que se pueden resolver son las funciones trigonométricas, es importante reconocer la diferencia entre un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.

El ángulo de elevación de un punto A, desde el punto O del observados, es el ángulo medido desde la horizontal que contiene a O hacia arriba, hasta la línea OB de la visual.

e

 

El ángulo de depresión de un punto A', desde el punto O del observados, es el ángulo medido desde la horizontal que contiene a O hacia arriba, hasta la línea OB' de la visual.

d

Ejemplo:

Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120
metros, el ángulo de depresión de una embarcación es de 15°. ¿A qué distancia del faro está la embarcación ?

Solución: Lo primero que tenemos que hacer es dibujar el triángulo que se forma con los datos del problema.

e

Aunque el problema viene con un ángulo de depresión de 15°, por la nota anterior el ángulo de elevación mide lo mismo. A partir de aquí hacemos uso de la relación tangente:

tan 15^\circ=\frac{120}{x}


x=\frac{120}{tan 15^\circ}


x = -447,93

PREGUNTA: Un niño ve un anuncio publicitario en la pared de un edificio, con un ángulo de elevación de 12º y está situado a 30m del edificio. Si del suelo a los ojos del niño hay 1,10m, ¿a qué altura se encuentra el aviso?

A) 7,5 m   B) 7,48 m    C) 6 m     D) 8 m

SITIO WEB FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 

https://www.zweigmedia.com/MundoReal/trig/trig2.html

Variación de las funciones trigonométricas

Antes de continuar con el análisis de estas funciones, es necesario hacer algunas precisiones en el lenguaje a usar:

Si f es una función definida en un subconjunto l de \mathbb{R} y además x_1,\, x_2 y c son elementos cualesquiera de l entonces:

  • f se dice creciente en l si f(x_1)<f(x_2) siempre que x_1<x_2

  • f se dice decreciente en l si f(x_1)>f(x_2) siempre que x_1>x_2

  • f(c) es un máximo de f en l si f(x)\leq f(c) para todo x de l

  • f(c) es un mínimo de f en l si f(x)\geq f(c) para todo x en l

  • f(c) se dice una cota superior de f en l, si es el mayor de los valores máximos de la función

  • f(c) se dice una cota inferior de f en l, si es el menor de los valores mínimos de la función.
Finalmente, convenimos en denotar por "\infty" (infinito), los valores numéricamente tan grandes como se quiere para abreviar hechos como el caso de tan\,\frac{\pi}{2}: si x se aproxima a \frac{\pi}{2} por su izquierda se tiene que tan\,\frac{\pi}{2}=+\infty y si x se acerca a \frac{\pi}{2} por su derecha se tiene que tan\,\frac{\pi}{2}=-\infty.
Si una función crece en un intervalo su recíproca decrece y viceversa.

Si una función vale 1 su recíproca también toma este valor.

Si una función vale 0 su recíproca tiende a +\infty o a -\infty

Como ya conocemos el signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante, el dominio y el recorrido, los valores que toman en los ángulos especiales y su periocidad, veamos le crecimiento y decrecimiento de estas funciones en cada cuadrante.
SenoI. crece de 0 a 1II: Decrece de 1 a 0
III. Decrece de 0 a -1IV. Crece de -1 a 0
CosenoI. Decrece de 1 a 0II. Decrece de 0 a -1
III. Crece de -1 a 0IV. Crece de 0 a 1
TangenteI. Crece de 0 a +\inftyII. Crece de -\infty a 0
III. Crece de 0 a +\inftyIV. Crece de -\infty a 0
CotangenteI. Decrece de +\infty a 0II. Decrece de -\infty a 0
III. Decrece de +\infty a 0IV. Decrece de -\infty a 0
SecanteI. Crece de 1 a +\inftyII. Crece de -\infty a -1
III. Decrece de -1 a -\inftyIV. Decrece de +\infty a 1
CosecanteI. Decrece de +\infty a 1II. Crece de 1 a +\infty
III. Crece de -\infty a -1IV. Decrece de -1 a -\infty
PREGUNTA: Crece de -\infty a 0. De que función estamos hablando.

La función y = sen x

Se considera la función f(x)=sen\, x, donde x es el valor de un ángulo medido en radianes, por lo que x, puede ser cualquier número real y f(x) es el valor del seno del ángulo x.

Cuando el ángulo es mayor que 2\pi o menor que cero, el valor de sen\, x se puede reducir según ya estudiamos, a un valor correspondiente de x, pero comprendido entre 0 y 2\pi radianes. Así, la gráfica de f(x)=sen\, x tendrá la siguiente forma:

x

...

0

\frac{\pi}{6}

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{2}

\frac{2\pi}{3}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{6}

\pi

\frac{7\pi}{6}

\frac{5\pi}{4}

\frac{4\pi}{3}

\frac{3\pi}{2}

\frac{5\pi}{3}

\frac{7\pi}{4}

\frac{11\pi}{6}

2\pi

...

sen\, x

...

0

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{1}{2}

0

-\frac{1}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-1

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{1}{2}

0

...

graficaseno

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

  • Dom (sen\, x)=\mathbb{R}

  •  

    Rang (sen\, x)=[-1,\, 1]

  •  

    La función y=sen\, x es impar ya que sen\, (-x)=-sen\, x

  •  

    La función y=sen\, x es periódica y su período es t=2\pi puesto que se cumple que sen\, x=sen\,(x+2k\pi),\, k\in\mathbb{Z}

  •  

    La función  y=sen\, x es estrictamente creciente en los intervalos (-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}),\, (\frac{3\pi}{2}),\,\frac{5\pi}{2}),\cdots y es estrictamente decreciente en los intervalos (-\frac{3\pi}{2},\, -\frac{\pi}{2}),\, (\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}),\cdots

  •  

    La función  y=sen\, x no es inyectiva pues sen\, x_1=sen\, x_2 no implica que x_1=x_2.

  •  

    La función  y=sen\, x no es sobreyectiva porque Rang\, (sen\, x)\neq\mathbb{R}

  •  

    La función  y=sen\, x es acotada ya que -1\leq sen\, x\leq 1 alcanza su valor máximo en x=\frac{\pi}{2}+2k\pi y su valor mínimo para x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\, k\in\mathbb{Z}

  •  

    La función  y=sen\, x se anula para x=0,\,\pi,\, 2\pi,\cdots,\, k\pi. Esto es sen\, k\pi=0,\, k\in\mathbb{Z}.

PREGUNTA: El periodo de la función  y=sen\, x es

La función y = cos x

De forma análoga a como se ha analizado el comportamiento de la función seno, se realiza el estudio de la función coseno, en el caso de 0\leq x\leq 2\pi y se amplía después para todo x\in\mathbb{R}. La gráfica que se muestra a continuación se obtiene de la siguiente tabla de valores conocidos:

x

...

0

\frac{\pi}{6}

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{2}

\frac{2\pi}{3}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{6}

\pi

\frac{7\pi}{6}

\frac{5\pi}{4}

\frac{4\pi}{3}

\frac{3\pi}{2}

\frac{5\pi}{3}

\frac{7\pi}{4}

\frac{11\pi}{6}

2\pi

...

cos\, x

...

1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{1}{2}

0

-\frac{1}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-1

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{1}{2}

0

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

1

...

 

graficacoseno

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

  • Dom (cos\, x)=\mathbb{R}

  • Rang (cos\, x)=[-1,\, 1]

  • La función y=cos\, x es par ya que cos\, (-x)=cos\, x

  • La función y=cos\, x es periódica y su período es t=2\pi puesto que se cumple que cos\, x=cos\,(x+2k\pi),\, k\in\mathbb{Z}

  • La función  y=cos\, x es estrictamente creciente en los intervalos ((2k-1)\pi,\, 2k\pi) y es estrictamente decreciente en los intervalos (2k\pi,\, (2k+1)\pi),\, k\in\mathbb{Z}

  • La función  y=cos\, x no es inyectiva pues cos\, x_1=cos\, x_2 no implica que x_1=x_2.

  • La función  y=cos\, x no es sobreyectiva porque Rang\, (cos\, x)\neq\mathbb{R}

  • La función  y=cos\, x es acotada pues -1\leq cos\, x\leq 1 alcanza su valor máximo en x=2k\pi,\, k\in\mathbb{Z} y su valor mínimo para x=(2k+1)\pi,\, k\in\mathbb{Z}

  • La función  y=cos\, x se anula para múltiplos impares de x=\frac{\pi}{2},\, x=\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2},\cdots,\,\,(2k+1)\frac{\pi}{2}; es decir cos(\frac{\pi}{2}+k\pi)=0,\, k\in\mathbb{Z}.

PREGUNTA: La función y=cos\, x es impar.

La función y = tan x

Para dibujar la gráfica de la función f(x)=tan\, x, recurrimos a una tabla de valores de tan\, x en el caso:

x

...

-\frac{\pi}{2}

-\frac{\pi}{3}

-\frac{\pi}{4}

0

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{2}

\frac{2\pi}{3}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{6}

\pi

\frac{5\pi}{4}

\frac{4\pi}{3}

\frac{3\pi}{2}

\frac{5\pi}{3}

\frac{7\pi}{4}

2\pi

...

tan\, x

...

No existe

-\sqrt{3}

-1

0

1

\sqrt{3}

No existe

-\sqrt{3}

-1

-\frac{\sqrt{3}}{3}

0

1

\sqrt{3}

No existe

-\sqrt{3}

-1

0

...

graficatan

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

  • Dom (tan\, x)=\mathbb{R}-\{(2k+1)\frac{\pi}{2},\, k\in\mathbb{Z}}

  •  

    Rang (tan\, x)=\mathbb{R}

  •  

    La función y=tan\, x es impar ya que tan\, (-x)=-tan\, x

  •  

    La función y=tan\, x es periódica y su período es t=\pi puesto que tan\, x=tan\,(x+k\pi),\, k\in\mathbb{Z}

  •  

    La función  y=tan\, x es estrictamente creciente en todo su recorrido

  •  

    La función  y=tan\, x no es inyectiva pues tan\, x_1=tan\, x_2 no implica que x_1=x_2.

  •  

    La función  y=tan\, x es sobreyectiva porque Rang\, (tan\, x)=\mathbb{R}

  •  

    La función  y=tan\, x no es acotada pues valores máximos, ni mínimos en su recorrido.

  •  

    La función  y=tan\, x se anula para múltiplos de x=\pi; es decir tan\, k\pi=0,\, k\in\mathbb{Z}.

PREGUNTA: El rango  (tan\, x)=\

La función y = ctg x

Bajo las mismas consideraciones que hemos desarrollado para las funciones anteriores, procederemos para las funciones recíprocas. En estos casos, las gráficas se acompañan de líneas discontinuas que representan las funciones recíprocas.

x

...

-\frac{\pi}{2}

-\frac{\pi}{4}

-\frac{\pi}{6}

0

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2}

\frac{2\pi}{3}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{6}

\pi

\frac{5\pi}{4}

\frac{3\pi}{2}

\frac{7\pi}{4}

2\pi

 

 

 

ctg\, x

...

0

-1

-\sqrt{3}

No existe

1

0

-\frac{\sqrt{3}}{3}

-1

-\sqrt{3}

No existe

1

0

-1

0

 

 

 

 

graficactg1

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

  • Dom (ctg\, x)=\mathbb{R}-\{k\pi,\, k\in\mathbb{Z}\}

  •  

    Rang (ctg\, x)=\mathbb{R}

  •  

    La función y=ctg\, x es impar ya que ctg\, (-x)=-ctg\, x

  •  

    La función y=ctg\, x es periódica y su período es t=\pi puesto que ctg\, x=ctg\,(x+k\pi),\, k\in\mathbb{Z}

  •  

    La función  y=ctg\, x es estrictamente decreciente en todo su recorrido

  •  

    La función  y=ctg\, x no es inyectiva pues ctg\, x_1=ctg\, x_2 no implica que x_1=x_2.

  •  

    La función  y=ctg\, x es sobreyectiva pues Rang\, (ctg\, x)=\mathbb{R}

  •  

    La función  y=ctg\, x no está acotada ni superior ni inferiormente.

  •  

    La función  y=ctg\, x se anula para múltiplos de \frac{\pi}{2}; es decir ctg(2k+1)\frac{\pi}{2}=0,\, k\in\mathbb{Z}.

  •  

    La función  y=ctg\, x presenta asíntotas verticales en x=0,\, 2\pi,\cdots,\, n\pi,\, n\in\mathbb{Z}.

 

PREGUNTA: ¿La función cotangente es?

MAURICIO MUÑOZ MATEMÁTICO FÍSICO UNIVALLE 

MATEMÁTICAS    11° 

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales se denota con la letra R.

Está conformado por todos los conjuntos numéricos vistos anteriormente. Veamos el diagrama:

1

Observemos ahora los conjuntos que conforman a los números reales

reales

 

La recta proporciona una visualización perfecta de los números reales. Cada punto de la recta corresponde a uno y solo un numero real, y
viceversa.
Observa en la recta los puntos de coordenadas enteras.

1

Ahora observa la recta con puntos de coordenadas y puntos de coordenadas racionales:

2

Finalmente ubicamos los irracionales, que no pueden representarse como decimales finitos o periódicos, sino mediante una aproximación decimal:

3

Ahora ya podemos realizar operaciones de cualquier índole combinando operaciones de los conjuntos que conforman los números reales.

En el vídeo se observan la clasificación de los números Reales:


PREGUNTA: Las operaciones con radicales hacen parte de las operaciones entre números reales. ¿Por qué?

INTERVALOS EN LA RECTA NUMÉRICA

Se llama intervalo al conjunto de números reales, se denotan \mathbb{R} comprendidos entre  dos puntos de la recta: a y b que se llaman extremos del intervalo.

45


En la recta real se definen los siguientes conjuntos :

Intervalo abierto de extremos a y b

Esta representación, se llama por extensión y se lee: x que pertenece a los números reales, tales que "a" es menor que x y "x" es menor que "b":
(a,b)=\{x \epsilon \mathbb{R}| a<x<b\}

El círculo en cada valor queda vacío para indicar en la recta, que los valores no se incluyen en el intervalo:

46


Intervalo cerrado de extremos a y b

Esta representación, se llama por extensión y se lee: x que pertenece a los números reales, tales que "a" es menor o igual que x y "x" es menor o igual que "b":
[a,b]=\{x \epsilon \mathbb{R}| a \leq x \leq b\}


El círculo en cada valor sí se rellenan para indicar en la recta, que los valores se incluyen en el intervalo:

478


Intervalo semi abierto por la derecha.

Esta representación, se llama por extensión y se lee: x que pertenece a los números reales, tales que "a" es menor o igual que x y "x" es menor que "b":
[a,b)=\{x \epsilon \mathbb{R}| a \leq x < b\}

57

Intervalo semi abierto por la izquierda.

Esta representación, se llama por extensión y se lee: x que pertenece a los números reales, tales que "a" es menor que x y "x" es menor o igual que "b".
(a,b]=\{x \epsilon \mathbb{R}| a < x \leq b\}

65

Intervalo infinito abierto por la izquierda.


(a,+ \infty )=\{x \epsilon \mathbb{R}| a < x < + \infty \}


Se deja una flecha indicando que será "infinito" en el intervalo porque nunca se termina:

54

Intervalo infinito cerrado por la izquierda.


[a,+ \infty )=\{x \epsilon \mathbb{R}| a \leq x < + \infty \}

12

Intervalo infinito abierto por la derecha.


( - \infty ,b)=\{x \epsilon \mathbb{R}| - \infty < x < b\}

10

Intervalo infinito cerrado por la derecha.


(- \infty ,b]=\{x \epsilon \mathbb{R}| - \infty < x \leq b\}

11

En esta lección es importante que aprendas a diferenciar la simbología de los intervalos abiertos "()", cerrados "[ ]", semi abierto e infinitos "[ ) y ( ]".

PREGUNTA: ¿Cual de los siguientes intervalos es semi abierto por la izquierda?

a) (3 , 67]     b) (-3 , -1)    c) [-4 , 8)   d) (-¥ , 5)

DESIGUALDADES O INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la cual intervienen expresiones algebraicas. Estas se refieren a relaciones de orden definidas en los números reales del tipo <, >, \leq, \geq

Propiedades de las desigualdades:

Si a \leq b y b \leq a entonces a=b

Si a \leq b y b \leq c entonces a \leq c.

Si a \leq b y c \leq d entonces a+c \leq b+d.

Si a \leq b y c > 0 entonces ac \leq bc.

Si a \leq b y c < 0 entonces ac \geq bc.

Si 0<a \leq b y 0<c \leq d, entonces ac \leq bd.

Propiedades para realizar operaciones con desigualdades:

1. Si se suma o se resta una misma cantidad en los dos miembros de la desigualdad, la relación se mantiene, es decir, el símbolo de desigualdad no se afecta.

2<92<9
2+3<9+32-3<9-3
5<12 -1<6

 2. Si se multiplica o divide por una cantidad positiva en ambos miembros de la desigualdad, la relación se mantiene.

2<92<9
2*4<9*4

\frac{2}{4}<\frac{9}{4}

8<36

\frac{1}{2}<\frac{9}{4}

3. Si se multiplica o se divide por una cantidad negativa en ambos miembros de la desigualdad, la relación cambia de sentido, es decir, se invierte el símbolo de la desigualdad.

$<9

2<9

2*(-5)>9*(-5)

\frac{2}{(-5)}>\frac{9}{(-5)}

-10>-45-\frac{2}{5}>-\frac{9}{5}

Ejemplo:

Hallar el conjunto solución de la desigualdad: -7<5x+3\leq13

1. Como debemos despejar x de la inecuación, primero se debe restar 3 en todos los miembros de la desigualdad:

-7-3<5x+3-3\leq13-3

-10<5x\leq10

2. Ahora dividimos en 5 todos los miembros de la inecuación:

\frac{-10}{5}<\frac{5x}{5}\leq\frac{10}{5}

-2<x\leq2

Luego: el conjunto solución es (-2,2] y la gráfica correspondiente es:

13

En los siguientes vídeos podrá profundizar mejor el tema:

PREGUNTA: El conjunto de valores que satisfacen la desigualdad 2x-5<9 es:

a) x ≤ 6   b) x<7   c) x ≥ 6   d) x≤ 7

ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a al origen (0), sobre la recta.

El valor absoluto de un numero real a, que se denota |a|, se define como el mismo numero a si a \geq 0 y el opuesto de a si a<0. Es decir:

|a|= \{ {a,\ si\ a \geq 0 \atop -a,\ si\ a<0}

Esto significa que el valor absoluto de cualquier valor numérico SIEMPRE es positivo.

Ejemplo:

|2|=2;\, |-2|=-(-2)=2

Propiedades del valor absoluto:

1. |a|\geq 0

Ejemplo:

|5|=5\geq 0

|-5|=5\geq 0

2. |a|=0si y sólo si a=0

Ejemplo:

|0|=0

3. |ab|=|a||b|

Ejemplo:

|4*5|=|4|*|5|=4*5=20

4. |a|^2=a^2

Ejemplo:

|3|^2=3^2=9

|-3|^2=3^2=9

5. |a|=|-a|

Ejemplo:

|9|=|-9|=9

6. |a+b|\leq |a|+|b|

Ejemplo:

|3+2|\leq |3|+|2|=3+2=5

|3+(-2)|=1\leq |3|+|-2|=3+2=5

7. |x-a|\leq b y b\geq 0 si y sólo si a-b\leq x\leq a+b

Ejemplo:

|x-5|\leq 2

5-2\leq x\leq 5+2

3\leq x\leq 7

R=[3,7]

8. |x-a|\geq b si y sólo si x\leq a-b Y x\geq a+b

Ejemplo:

|x-3|\geq 1

x\leq 3-1 Y x\geq 3+1

x\leq 2 Y x\geq 4

R=(-\infty,2]U[4,\infty)

Veamos otros ejemplos:

1. Calculemos: \left|\frac{-xy}{4zm}\right| si x > 0; y < 0; z < 0; m > 0

Solución:

\left|\frac{-xy}{4zm}\right|=\frac{|-xy|}{|4zm|}=\frac{|-x||y|}{|4||z||m|}=\frac{(x)(-y)}{4(-z)(m)}=\frac{xy}{4zm}.

2. Resolvamos: |4x-3|\leq 1

Solución: Por la propiedad número 7, tenemos:

|4x-3|\leq 1\Leftrightarrow -1\leq 4x-3\leq 1

\Rightarrow 2\leq 4x\leq 4 (Sumando 3 a cada término)

\Rightarrow\frac{1}{2}\leq x\leq 1 (Dividiendo por 4)

R=[\frac{1}{2},\, 1] Es la solución.

3. Resolver: \left|\frac{2}{5}-\frac{8x}{3}\right|\geq 4

Solución:

\left|\frac{2}{5}-\frac{8x}{3}\right|\geq 4\Rightarrow\frac{2}{5} -\frac{8x}{3}\geq 4 \ \ \tiny\vee\Large \ \ \frac{2}{5} -\frac{8x}{3}\leq -4\Rightarrow

-\frac{8x}{3}\geq\frac{18}{5}\,\tiny\vee\Large {-\frac{8x}{3}\leq -\frac{22}{5}\Rightarrow

\frac{8x}{3}\leq -\frac{18}{5}\,\tiny\vee\Large\,\frac{8x}{3}\geq\frac{22}{5}}\Rightarrow

x\leq -\frac{27}{20}\,\tiny\vee\Large\, x\geq\frac{33}{20}

R=(-\infty ,\, -\frac{27}{20}]\,\tiny\cup\,\Large [\frac{33}{20},\,\infty) es la solución.


En el siguiente vídeo se muestran varios ejercicios resueltos que le ayudarán a profundizar el tema:

PREGUNTA: Cuál es el resultado de $x+4|<2

a) R=(-6,-2)  b) R=[-6,-2]  c) R=(6,-2) d) R=(-6,2)

FUNCIONES

Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Una relación es función si:

* Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
* La imagen de cada elemento x \inA debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen, pero cada imagen puede tener varios dominios.

En una función real hay dos tipos de variables:

  • La letra x representa cualquier numero real y se llama variable independiente. Al conjunto de estas variable se le denomina el dominio de la función.
  • Los valores que toma la letra y dependen de los valores que se dan a la letra x, por eso la variable y se llama variable dependiente. Al conjunto de los valores de esta variable se le denomina rango.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

 

Ejemplo:

Veamos el dominio y el recorrido de la función f(x)=\sqrt{x-4}.

La función f(x) no esta definida sobre toda la recta real puesto que x-4 debe ser positivo. Por tanto x-4 \geq 0, es decir x \geq 4.

Luego: el dominio de f es [4,+ \infty).

La función f(x)=\sqrt{x-4} nunca será negativa. Por lo tanto f(x) \geq 0.

Luego: el recorrido de f es [0,+ \infty).

OPERACIONES CON FUNCIONES

Adición de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Ejemplo 1: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f + g.

Solución

- La función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

3x + 1 + 2 x - 4

5 x - 3

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Ejemplo 2: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f - g.

Solución

- La función f - g se define como

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

3x + 1 - (2 x - 4)

3x + 1 - 2x + 4

x + 5

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Ejemplo 3: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f . g.

Solución

- La función f . g se define como

(f .g)(x) = f(x) . g(x)

(3x + 1) . (2x - 4)

3x.2x +3x.(-4) + 1.2x +1.(-4)

6x^2-12x+2x-4

6x^2-10x-4

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula)

Ejemplo 4: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f / g.

Solución

- La función f / g se define como

(f /g)(x) = f(x) / g(x)

(3x + 1) / (2x - 4)

\frac{3x+1}{2x-4}

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejemplo 5: Sea la función f(x) = 3 x + 1 y el número real a=7 Definir la función a.f .

Solución

- La función a . f se define como

(a.f)(x) = a.f(x)

7.(3x + 1)

7.3x +7.1

21x + 7

 

PREGUNTA: Sean las funciones (x)=2x+3 y g(x)=5x+8. Cuál es el resultado de la operación (f.g)(x)

a) 10x2+31x+24  b) 10x2+30x+24  c) 10x2+x+24    d) 10x2-x+24

FUNCIONES COMPUESTAS

Si f y g son dos funciones y el dominio de g esta contenido en el rango de f, entonces la función compuesta de f y g se define como f\circ g=f[g(x)], donde el dominio de f\circ g es el subconjunto del dominio de f que contiene los valores para los que f\circ g está definida.

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR FUNCIÓN COMPUESTA

\Large f\circ g=f[g(x)] se lee f compuesta g y para hallar la función compuesta f\circ g debemos:

1. Tomar la función f y reemplazar, en cada posición donde esté x, por g(x).

Recordemos que el orden de la expresión nos indica cuál es la función que estará compuesta por la otra, así f\circ g\neq g\circ f

Ejercicio práctico 1:

Hallar la función compuesta (f \circ g)(x) si f(x)=3x+5 y g(x)=x^2-1.

Tomamos la función f y reemplazamos, en cada posición donde esté x, por g(x).

(x)=3x+5 y g(x)=x^2-1

f\circ g=f(x^2-1)

f\circ g=3[x^2-1]+5

f\circ g=3x^2-3+5

f\circ g=3x^2+2

Ejercicio práctico 2:

Hallar la función compuesta (g \circ f)(x) si f(x)=3x+5 y g(x)=x^2-1.

Tomamos f(x) y lo reemplazamos en g

(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+5)

=(3x+5)^2-1=9x^2+30x+25-1

Por tanto:

g(f(x))=9x^2+30x+24

Ejercicio práctico 3:

Un grupo de obreros está construyendo una plaza en forma circular, la cual debe tener 40 metros de diámetro. Los ingenieros calcularon la relación entre el radio de la circunferencia y el tiempo que invierten en el trabajo por medio de la fórmula r=2t+4

¿calcular el tiempo que tárdara la firma constructora en terminar la obra?

Solución:

Sabemos que el área de una circunferencia se expresa en función del radio así:

A(r)=\pi r^2

pero el radio a su vez está dado en función del tiempo:

r(t)=2t+4

Ahora vamos a expresar el área de la plaza en términos del tiempo así:

A(r(t))=\pi (r(t))^2=\pi (2t+4)^2

Hemos hallado el área de dicha circunferencia en función del tiempo. Como el radio es de 20 m, se tiene:

A=\pi (20)^2=\pi (2t+4)^2

(20)^2=(2t+4)^2

20=2t+4

entonces t=8 unidades de tiempo

Luego: la firma constructora terminará la obra en 8 unidades de tiempo.

Observa que le área se halla aplicando dos funciones sucesivamente, r y después A, y se dice que la función A(r(t)) es la compuesta de A respecto de r y se nota así:

A(r(t))=(A\circ r)(t)

PREGUNTA: Hallar (g \circ f)(x) de las funciones g(x)=5x-8 y f(x)=x^3

Función inversa o reciproca

FUNCIÓN INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Es necesario que no se vaya a confundir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, \frac{1}{f(x)}, son totalmente diferentes.

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA

1. Se escribe la ecuación de la función con x e y, si aparece el término f(x) lo remplazamos por y (f(x)=y).

2. Se despeja la variable x. Cuando ya esté despejada se cambia x por f^{-1}(x)

 3. Se intercambian las variables, es decir, la variable y se cambia por x

Ejemplo:

Calcular la función inversa f^{-1}(x) de la función f(x)=\frac{3x+2}{x+5}.

1. Se escribe la ecuación de la función con x e y, si aparece el término f(x) lo remplazamos por y (f(x)=y).

y=\frac{3x+2}{x+5}

2. Se despeja la variable x. Cuando ya esté despejada se cambia x por f^{-1}(x)

y(x+5)=3x+2

yx+5y=3x+2

yx-3x=-5y+2

x(y-3)=-5y+2

x=\frac{-5y+2}{y-3}

f^{-1}(x)=\frac{-5y+2}{y-3}

PREGUNTA: Calcular la función inversa de f(x)=3x-5:

a) f-1(x)=x+3/5  b) f-1(x)=3/x+5  c) f-1(x)=x+5/3  d) f-1(x)=5/x+3

SUCESIONES NUMÉRICAS

Una sucesión es una función definida para el conjunto de los enteros positivos.

Recorrido de una sucesión: Subconjunto ordenado de números reales, que se denota:

(a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)  para n \epsilon \mathbb{N}

Término de una sucesión: En la sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)  cada a_n, es un término y el subíndice n indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. Entonces:

a_1 es el primer término de la sucesión.

a_2 es el segundo término de la sucesión.

a_3 es el tercer término de la sucesión, etc.

Una sucesión es ordenada ya que hay un primer término a1 que es  imagen de 1, un término a2 que es imagen del 2 y así sucesivamente.

Para todo entero positivo n, existe un término a_n llamado término general o término n-ésimo que determina los elementos de la sucesión: podemos decir que es la fórmula por medio de la cual se halla cada uno de los términos de la sucesión.

Ejemplo:

Escribir el término general a_nde la sucesión de los números impares.

Solución:

La sucesión (an) de los números impares es (an) = (1,3,5,7,9,11,13...)

Por tanto el término general de los números impares es a_n=(2n - 1).

Hallemos los tres primeros términos de a_n=(2n-1) para comprobarlo:

Para n=1

Para n=2

Para n=3

a_1=(2*1-1)

a_2=(2*2-1)

a_3=(2*3-1)

a_1=2-1a_2=4-1a_3=6-1

a_1=1

a_2=3

a_3=5

Veamos otro ejemplo:

Encontrar el término n-ésimo (a_n)de la sucesión \{1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,\ldots ,S_n,\ldots\}

Solución:

Si observamos los términos que ocupan lugares impares, tenemos:

a_1= 1

a_3= 1

a_5= 1

Luego a_n=1 Si n es impar.

Si observamos los términos que ocupan lugares pares, tenemos:

a_2=1,\, a_4=2,\, a_6=3\, a_8=4\, a_{10}=5\, a_{12}=6

Luego a_n=\frac{n}{2} si n es par. Comprobamos:

a_2=\frac{2}{2}=1

a_4=\frac{4}{2}=2

a_6=\frac{6}{2}=3

a_8=\frac{8}{2}=4 , etc.

Concluimos entonces que a_n=\displaystyle\left\{ {1\, si\, n\, es\, impar\atop\frac{n}{2}\, si\, n\, es\, par

Representación de sucesiones en el plano cartesiano

Representaremos en el plano cartesiano la sucesión (b_n)=\frac{2}{n}

La gráfica cartesiana de la sucesión (b_n)=\frac{2}{n} representa el conjunto de parejas ordenadas (b_n)=((1,2),\, (2,1),\, (3,\frac{2}{3}),\, (4,\frac{1}{2}),\, (5,\frac{2}{3})\ldots)

La gráfica cartesiana de una sucesión no es una linea continua, sino que es un conjunto de puntos.

sucesion

PREGUNTA: Encontrar los primeros cuatro términos de la sucesión (d_n)=2n+5

* (d_n)=(7,9,11,13...)   * (d_n)=(6,8,10,12,...)   * (d_n)=(1,3,5,7,...)$  * (d_n)=(5,7,9,11,...)

SUCESIONES FINITAS E INFINITAS

Sucesión  finita:  Se presenta cuando el dominio de la función es un subconjunto finito de \mathbb{Z}^+. Esto significa que se limita el número de términos que se deben hallar a una cantidad finita. 

Para encontrar los términos de una sucesión finita, hallamos los términos de la sucesión hasta el número n que se indique.

Ejemplo:

Encontrar los 5 primeros términos de la siguiente sucesión finita:

\Huge (b_n)=\Huge(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Huge)  ; {n=5}

Solución:

Reemplazamos para n = 1,2,3,4 y 5.

Luego:

(b_n)=\Huge(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Huge)  ; {n=5}

=\Huge(1,\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,-\frac{1}{4},\,\frac{1}{5})

Sucesión infinita: Se presenta cuando el dominio de la función es el conjunto de los números enteros positivos, es decir cuando el dominio es infinito. En este caso los términos a hallar no se limitan a unos cuantos si no a todo el conjunto de números enteros positivos hasta el infinito.

Como es dispendioso encontrar todos los términos de una sucesión infinita, hallamos en orden algunos de los primeros términos e indicamos con puntos suspensivos que la sucesión continua.

Ejemplo:

Hallar los términos de la sucesión (b_n)=\Huge(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Huge)

Solución: Observemos que en las sucesiones finitas se indica la cantidad de términos que se deben hallar, en este caso no se indica, lo que significa que es una sucesión infinita.

(b_n)=\Huge(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Huge)=\Huge(1,\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,-\frac{1}{4},\,\frac{1}{5},\cdots\Huge)

PREGUNTA: Los términos n=1,2 y 3 de la sucesión  (a_n)=(2n+1)^3 son:

a) a1=8  a2=27  a3=343  b) a1=8  a2=27  a3=643  c) a1=27  a2=64  a3=343  d) a1=27  a2=125  a3=343

SUCESIONES MONÓTONAS

Una sucesión es monótona cuando todos sus términos sucesivos (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) crecen o decrecen.

Sucesión monótona creciente: Si cada término de la sucesión es mayor o igual al término anterior. Es decir,

 a_1\,\leq a_2,\,a_2\,\leq a_3,\,a_3\,\leq a_4\cdots,\,a_n\leq a_{n+1,\cdots}

Sucesión estrictamente creciente:Si la relación que hay entre cada término es:

 a_1< a_2, a_2< a_3,\cdots,\,a_n\,<\,a_{n+1,\cdots}

Sucesión monótona decreciente: Si cada término es menor o igual al término anterior. Es decir:

a_1\,\geq a_2,\,a_2\,\geq a_3,\,a_3\,\geq a_4,\cdots,\,a_n \geq a_{n+1,\cdots}.

Sucesión estrictamente decreciente: Si la relación que hay entre cada término y el siguiente es:

 a_1> a_2, a_2>\,a_3,\cdots,\,a_n>\,a_{n+1},\cdots.

Ejemplo:

La sucesión \{\frac{1}{n+1}\} es monótona decreciente porque:

a_{n+1}=\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}=a_n (al disminuir el denominador, el valor de la fracción aumenta).

Compruébalo remplazando algunos valores de n.

La sucesión \{n^2\}=\{1,4,9,16,\ldots, n^2,\ldots\} es monótona creciente ya que a_1\,\leq a_2,\,a_2\,\leq a_3,\,a_3\,\leq a_4\cdots,\,a_n\leq a_{n+1,\cdots}

Compruébalo remplazando algunos valores de n.

PREGUNTA: La sucesión (a_n)=\frac{n}{n+1} es:

Sugerencia: Reemplaza algunos valores de la sucesión y verifica numéricamente la relación entre ellos.

SUCESIONES ACOTADAS

Una sucesión puede tener cota superior o inferior.

Sucesión acotada superiormente: Una sucesión (an) esta acotada superiormente si todos los términos de la sucesión son menores o iguales que k, es decir a_n \leq k para todo n.

Sucesión acotada inferiormente: Una sucesión (an) esta acotada inferiormente si todos los términos de la sucesión son mayores o iguales a k, es decir a_n \geq k para todo n.

Ejemplo:

Hallar la cota de la sucesión a_n=\frac{1}{n}

Remplazamos unos cuantos valores para obtener los primeros términos de la sucesión:

a_n=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{n},\ldots\}.

Podemos observar que a medida que se remplazan valores más grandes de n los términos de la sucesión se van haciendo más pequeños que 1. Esto significa que está acotada superiormente por k=1.

Veamos otro ejemplo:

La sucesión \{(-2)^n\}=\{-2,4,-8,16,\ldots,(-2)^n,\ldots\} no es acotada ni superior ni inferiormente.

PREGUNTA: La sucesión (a_n)=(3n) es

SUCESIONES CONVERGENTES, DIVERGENTES Y OSCILANTES

En la lección anterior vimos como las sucesiones pueden ser acotadas superior e inferiormente.

Ahora estudiaremos cómo se clasifican éstas sucesiones acotadas:

Sucesiones convergentes

Una sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) es convergente si todos los términos (a_n) de la sucesión se van aproximando cada vez mas a un cierto numero real al que se llama punto de convergencia o limite.

Ejemplo:

Encontrar el punto de convergencia de la sucesión (c_n)=(\frac{n+1}{n})

Solución:

Para (c_n)=(\frac{n+1}{n})=(2,\,\frac{3}{2},\,\frac{4}{3},\,\frac{5}{4},\,\cdots,\,\frac{101}{100},\,\cdots,\,\frac{1001}{1000}\,\cdots\,)

Se observa que todos sus términos son menores que 2 pero si remplazamos valores cada vez más grandes de "n"  todos sus términos se van acercando a 1. Luego el punto de convergencia o límite de esta sucesión es 1. 

Sucesiones Divergentes: Una sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) es divergente si todos los términos (a_n) de la sucesión no se aproximan a un valor real.

Por tanto las sucesiones divergentes no tienen límite.

Ejemplo:

Verificar que la sucesión (a_n)=(n+3 es divergente.

Solución:

Los primeros términos de la sucesión (a_n)=(4,5,6,7,8,\,\cdots) nos muestran que la sucesión no se acerca a ningún valor real, por el contrario sus términos son cada vez más grandes, es decir, tienden a \infty.

Por tanto la sucesión(a_n)=(n+3) es divergente. 

Veamos otro ejemplo:

La secuencia \{a_n\}=\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n},\ldots\} es convergente porque:

\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n})=0

La secuencia \{b_n\}=\{1, 2, 3,\ldots, n,\ldots\} es divergente porque:

\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} n no existe

porque cuando n se hace muy grande, b_n=n se hace muy grande y no se aproxima a ningún valor constante, por el contrario tiende a \infty.

Sucesiones oscilantes: Una sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) es oscilante cuando sus términos no convergen ni divergen a ningún valor. esto significa que los término de la sucesión alternand de mayor a menor o visceversa.

Ejemplo:

La sucesión a_n={1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...}.

Observamos que el primer término es mayor al segundo, el segundo es menor que el tercero, el tercer término es mayor que el cuarto término y así sucesivamente. 

PREGUNTA: La sucesión \frac{1}{n^2} es:

DEFINICIÓN DE LÍMITE

El concepto de límite en matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Dada una función f(x) y un punto x=a se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:

 

1

Dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < \varepsilon

Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está suficientemente cerca de a, entonces su imagen f(x) también está muy próxima a L.

 

PROPIEDADES DE LÍMITES:

Dentro de las propiedades de límites tenemos:

1 Límite de una constante.

2 Límite de una suma.

3 Límite de un producto.

4 Límite de un cociente.

5 Límite de una potencia.

6 Límite de una función.

7 Límite de una raíz.

PREGUNTA: \lim_{x \to 1} 4x+3 a) 4 b) 2 c) -1 d) 1

LIMITES LATERALES

Límite por la derecha:Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:

\lim_{x\to a^+}=f(x) 

al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.

Límite por la izquierda: Se define el límite lateral por la izquierda de ade la función f(x), y se expresa como:

\lim_{x\to a^-}=f(x)  

y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Para que una función f(x) tenga límite en x=a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

\lim_{x\to a}=f(x) = \lim_{x\to a^+}=f(x) = \lim_{x\to a^-}=f(x) 

Ejemplo:

Considera la función f(x)=\{ { \sqrt{x}\text{ si }0\leq x <4 \atop{\sqrt{x}-1}\text{ si } x>4}. Calcular el limite cuando x \rightarrow 4 por la derecha y cuando x \rightarrow 4 por la izquierda.

Solución:

Límite por la derecha: Cuando x\rightarrow 4^+, podemos efectuar la tabla:

5.3.1.JPG

Vemos que \lim_{x\to 4^+} f( x)=\lim_{x\to 4^+}\sqrt{x}-1=\sqrt{4}-1=2-1=1

Límite por la izquierda: Cuando x\rightarrow 4^-, podemos efectuar la tabla:

5.3.2

Vemos que \lim_{x\to 4^-} f( x)=\lim_{x\to 4^-}\sqrt{x}=\sqrt{4}=2

Luego: los valores obtenidos para f( x) por la derecha y por la izquierda son diferentes. Significa que el límite de la función no existe.

Recordemos que una función sólo puede tener límite.

Una vez definido los limites laterales, podemos afirmar que si una función es continua en [a, b], decimos que f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.  

PREGUNTA: ¿Qué valores se deben tomar para elaborar la tabla de valores que permita calcular el límite de una función f(x) por la derecha \lim_{x\to a^+}f(x)?

TIPOS DE LIMITES

Límites infinitos en un punto finito:

1

Observando la gráfica, se dice que el límite cuando x se acerca por la derecha de a es +\infty, pues a medida que la x se acerca a a la función se hace cada vez mayor (y=f(x)) tiende a +\infty):

\lim_{x\to a^+}=+\infty

De igual modo se define el límite −∞ cuando nos acercamos a a sea por la derecha o por la izquierda (y=f(x)) tiende a −∞ .

1

Límites finitos en el infinito: Se dice que una función tiene límite b cuando x tiende a +∞ cuando la función se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

\lim_{x\to \infty}f(x)=b

En este caso el límite es 2 cuando x tiende a + ∞ .

De igual modo se define el límite finito cuando x tiende a −∞ .

Límites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si  x tiende a + ∞ la función se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞ ).

1

\lim_{x\to \infty}f(x)=-\infty

Vea en el vídeo siguiente las propiedades de los límites:

PREGUNTA: Si se tiene una función en la cual a medida que x se acerca a un punto f(x) tiende a infinito se dice que es un límite:

CALCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO

En esta lección nos enfocaremos en aprender a calcular límites cuando tienden a \infty o -\infty

Límites de polinomios : El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del polinomio.

Ejemplos:

\lim_{x \to \infty}(2x^5-3x^2+5)=+\infty

Como podemos ver el término de mayor grado es 2x^5 como su coeficiente es positivo el límite será +\infty

\lim_{x \to \infty}(-3x^7-5x^2+4^x-8)=-\infty

En este caso, el término de mayor grado es -3x^7 como su coeficiente es negativo el límite será -\infty

Caso 1: Indeterminación \frac{\infty}{\infty}: Si tenemos un cociente (división) de polinomios nos encontraremos con una indeterminación de este tipo. Para resolverla basta recordar las siguientes reglas:

a) \lim_{x \to \infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\pm \infty si el grado de p(x)>q(x), donde el signo depende de los coeficientes (se debe aplicar ley de signos).

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}\frac{x^3-5x^2+6}{-x^2+4}=\frac{\infty}{-\infty}=-\infty

Porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen signo diferente.

b) \lim_{x \to \infty}\frac{p(x)}{q(x)}=0 si el grado de p(x)<q(x)

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-5}{x^6-x^4-3x^2+4}=\frac{\infty}{\infty}=0

Porque el grado del denominador es mayor.

c) \lim_{x \to \infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a}{b} si el grado de p(x)=q(x)

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}\frac{7x^3+2x-6}{-3x^3+6}=\frac{7}{-3}=-\frac{7}{3}

Porque el grado del numerador es igual al grado del denominador.

La resolución de límites cuando x tiende a − ∞ se reduce a las tres reglas anteriores ya que:

\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}f(-x)

Ejemplo:

\lim_{x \to -\infty}\frac{x^3-5x^2+4}{-x^+5x}=\lim_{x \to \infty}\frac{((-x)^3-5(-x)^2+4)}{(-(-x)^2+5(-x))}

\lim_{x \to \infty}\frac{-x^3-5x^2+4}{-x^2-5x}=\frac{-\infty}{-\infty}=\infty

Porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

d) Cociente de polinomios cuando aparecen raíces cuadradas.

\lim_{x \to \infty}\frac{3+\sqrt{x^3+5x}}{x^2+4}=0

Puesto que el grado del denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x está dentro de una raíz cuadrada y es \frac{3}{2} que es menor que 2.

e) Cociente de polinomios cuando aparecen raíces cuadradas y el límite no existe

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{-x+1}+x^3}{1+x+3x^3}

A pesar de que los grados de numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a + ∞ (es positivo y muy grande) resulta que -x+1 es negativo y como es bien conocido, la raíz cuadrada de un número negativo no existe en el cuerpo de los números reales, por tanto el límite anterior no tiene sentido.

f) Cociente de polinomios cuando aparecen raíces cuadradas y el límite tiende a -\infty

Ejemplo:

\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{-x+1}+x^3}{1+x+3x^3}

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{-(-x)+1}+(-x)^3}{1+(-x)+3(-x)^3}

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x+1}-x^3}{1-x-3x^3}=\frac{1}{3}

Caso 2: Indeterminación \infty-\infty: Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos aprendimos a resolver.

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-x+1}{x+1}-\frac{x+3+x^2}{x-1}=\infty-\infty

Primero hallamos el común denominador:

\lim_{x \to \infty}\frac{(x^2-x+1)(x-1)-(x+3+x^2)(x+1)}{(x+1)(x-1)}

Ahora realizamos la multiplicación respectiva tanto en numerador como en denominador:

\lim_{x \to \infty}\frac{(x^2-x+1)(x-1)-(x+3+x^2)(x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x \to \infty}\frac{x^3-2x^2+2x-1-(x^3+2x^2+4x+3)}{x^2-1}

\lim_{x \to \infty}\frac{-4x^2-2x-4}{x^2-1}=\frac{-4}{1}=-4

Porque el grado del numerador es igual al grado del denominador.

En caso de que aparezca una raíz, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión radical.

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}(2x-1)-sqrt{x+1}=\infty-\infty

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del radical:

\lim_{x \to \infty}\frac{(2x-1)-sqrt{x+1}*(2x-1)+sqrt{x+1}}{(2x-1)+sqrt{x+1}}

Efectuamos las operaciones pertinentes:

\lim_{x \to \infty}\frac{(2x-1)^2-(sqrt{x+1})^2}{(2x-1)+sqrt{x+1}}

\lim_{x \to \infty}\frac{(4x^2-4x+1)-(x+1)}{(2x-1)+sqrt{x+1}}

\lim_{x \to \infty}\frac{(4x^2-5x)}{(2x-1)+sqrt{x+1}}=+\infty

Porque el grado del numerador es mayor al grado del denominador.

Ver el siguiente vídeo para profundizar:


PREGUNTA: Calcula \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x+7}{x^2+3}.

a) 2 b) 7/3 c) 1  d) 4


CÁLCULO DE LIMITES EN PUNTOS FINITOS

En esta lección nos enfocaremos en aprender a calcular límites cuando tienden a valores reales finitos.

Si queremos calcular el límite de una función f(x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplemente se debe sustituir el valor de a  en f(x):

Ejemplo:

\lim_{x \to -3}\frac{2x^2-3x+1}{x+2}

\frac{2(-3)^2-3(-3)+1}{(-3)+2}

\frac{18+9+1}{-1}=-28

El problema que podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir x p or el valor que corresponda.

Es por eso que veremos los casos que podemos encontrar y la forma de solucionarlos.

Caso 1: Indeterminación \frac{k}{0} con k\neq 0: Se presenta cuando en el numerador aparece un número cualquiera diferente de 0 y el denominador es 0.

En este caso el límite el siempre ∞ , pero para determinar su signo, se calculan los límites laterales.

Recordemos que para calcular límites laterales se deben tomar valores muy pequeños cercanos a límite que nos indiquen tanto por la derecha como por la izquierda y remplazarlos en la función.

Ejemplo:

\lim_{x \to 1}\frac{1-2x}{1-x^2}

\lim_{x \to 1}\frac{1-2(1)}{1-(1)^2}

\lim_{x \to 1}\frac{-1}{0}

Veamos la tendencia del límite por la derecha y por la izquierda:

Para realizar el cálculo del límite por la derecha tomemos el valor 1.0001 que es muy cercano al límite que nos indican: 1

\lim_{x \to 1^+}\frac{1-2(1.0001)}{1-(1.0001)^2}

El numerador tiende a -1 y el denominador a 0 por la izquierda, se puede interpretar como -0, aplicamos ley de signos:

\lim_{x \to 1^+}\frac{-1}{0^-}=\infty

Ahora para realizar el cálculo del límite por la izquierda tomemos el valor 0.9999 que es muy cercano al límite que nos indican: 1

\lim_{x \to 1^+}\frac{1-2(0.9999)}{1-(0.9999)^2}

El numerador tiende a -1 y el denominador a 0 por la derecha, se puede interpretar como +0, aplicamos ley de signos:

\lim_{x \to 1^+}\frac{-1}{0^+}=-\infty

Indeterminación \frac{0}{0}: En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0.

Si en el numerador y en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver la indeterminación es descomponer los polinomios en factores y simplificar para posteriormente volver a sustituir.

Veamos un ejemplo:

\lim_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}=\frac{2^2-5(2)+6}{(2)^2-4}=\frac{0}{0}

\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x-2)}

\lim_{x \to 2}\frac{(x-3)}{(x+2)}=\frac{2-3}{2+2}=-\frac{1}{4}

En caso de que también aparezcan raíces cuadradas, realizamos el proceso explicado en la lección anterior de multiplicación por la conjugada del radical.

PREGUNTA: Calcular \lim_{x \to -3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x^2+2x-3}

a) 1/8  b) 0 c) 8  d) -8

CÁLCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES

Recordemos unas reglas básicas cuando aparecen exponentes.

a^n=b

Donde:

a es la base

b es el exponente

c es la potencia

Si tenemos funciones como las siguientes:

\lim_{x \to a}[f(x)]^{g(x)}

\lim_{x \to \infty}[f(x)]^{g(x)}

Se pueden presentar los casos que veremos a continuación.

1. La base tiende a un número cualquiera diferente de cero y el exponente a otro número que pertenezca a los reales. En este caso el límite es el número que resulta de realizar la operación correspondiente.

Ejemplo:

\lim_{x \to 1}[x+1]^{2x-3}

[1+1]^{2(1)-3}

[2]^{-1}=\frac{1}{2}

2. La base tiende a un número positivo mayor que 1 y el exponente a +∞ . En este caso el límite es también + ∞ .

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}[\frac{2x+1}{1+x}]^{2x-3}

Como vemos numerador y denominador tienen grados iguales por tanto nos queda:

2^{\infty}=\infty

3. La base tiene a un número diferente de 0 comprendido entre -1 y 1 y el exponente a +∞ . En este caso el límite es 0.

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}[\frac{1+x}{2x+1}]^{2x-3}=[\frac{1}{2}]^{\infty}=0

4. La base tiende a un número negativo menor o igual que -1 y el exponente a +∞ . En este caso el límite no existe, pues los productos son alternativamente de signo contrario.

Ejemplo:

\lim_{x \to \infty}[\frac{-3x+1}{1+x}]^{2x-3}=[-3]^{\infty}= No existe

5. En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞ tenemos una indeterminación que se resuelve aplicando la fórmula:

\lim_{x \to a}[f(x)]^{g(x)}=1^\infty=e^{\lim_{x \to a}g(x)*[f(x)-1]}

Ejemplo: 

\lim_{x \to 0}[\frac{1+x}{2x+1}]^{\frac{2x+3}{x}}

Aplicando la fórmula debemos encontrar el exponente de e:

\lim_{x \to 0}[\frac{2x+3}{x}]*{\frac{1+x}{2x+1}-1}

\lim_{x \to 0}[\frac{2x+3}{x}]*{\frac{1+x-2x-1}{2x+1}}

\lim_{x \to 0}[\frac{2x+3}{x}]*{\frac{-x}{2x+1}}

\lim_{x \to 0}\frac{-2x^2-3x}{2x^2+x}

\lim_{x \to 0}\frac{(x)(-2x-3)}{(x)(2x+1)}

\lim_{x \to 0}\frac{(-2x-3)}{(2x+1)}

\frac{(-2(0)-3)}{(2(0)+1)}

\frac{-3)}{1}=-3

Ahora si reemplazando en la fórmula tenemos que:

\lim_{x \to 0}[\frac{1+x}{2x+1}]^{\frac{2x+3}{x}}=e^{-3}

PREGUNTA: Para desarrollar

 \lim_{x \to a}[f(x)]^{g(x)}=1^\infty=e^{\lim_{x \to a}g(x)*[f(x)-1]} es necesario:

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.

Se dice que una función es continua si existe continuidad para todos y cada uno de los puntos de su dominio.

Continuidad en un punto:Una función f(x) se dice que es continua en un punto a (x=a) si se verifica que:

  1. \lim_{x \to a} f(x) existe
  2. f(a) existe, y
  3. \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Continuidad en un intervalo: Una función y=f(x)se dice continua en un intervalo si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo.

Para profundizar este tema ingresa a la presentación del recurso web propuesto para este tema. 

PREGUNTA:  ¿Cuál de las siguientes funciones no es continua?

FUNCIONES DISCONTINUAS

Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:

  • Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función.

1

  • Puntos en los que la gráfica presenta un salto.

1

Una función se dice que es discontinua en a si f(x) no es continua para x=a

Cuando una función es discontinua interesa distinguir dos posibilidades:

  • Si no existe el \lim_{x \to a} f(x), se dice que la discontinuidad es esencial.
  • Si existe el \lim_{x \to a} f(x), se dice que la discontinuidad es evitable.

En este caso, se presentan dos posibilidades: que f(a) no exista o que f(a) \neq L.

5.2.1

Para conseguir que una función con discontinuidad evitable sea continua, se altera en f(x) solamente su posible valor para x=a de manera que pase a ser f(a)=L, generalmente por métodos de factorización. Al hacer esto, se dice que se ha evitado la discontinuidad en a.

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES

Para saber si la función es discontinua  se realiza el siguiente procedimiento:

1. Identificar los puntos singulares que son los valores de x que hacen que el denominador se anule. 

2. Hallar el límite de la función en ese punto singular:

a. Si el límite no existe o es infinito entonces la función es discontinua.
Si el límite existe hay que compararlo con el valor asignado a la función en ese punto. 
b. Si el límite y el punto singular son iguales entonces la función es continua.
c. Si los puntos singulares y el limite son distintos la función es discontinua. En este caso se dice que es una discontinuidad evitable.

Ejemplo 1:

En la función \frac{x^3-1}{x-1}.

1. Identificar los puntos singulares que son los valores de x que hacen que el denominador se anule. 

El denominador es x-1 que se anula para x=1.

El punto singular es x=1.

2. Hallar el límite de la función en ese punto singular:

\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}

Desarrollamos el producto notable (x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)

\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}

\lim_{x\to 1}(x^2+x+1)

(1^2+1+1)=3

Observamos que el los punto singular y el limite son distintos la función es discontinua y la discontinuidad es evitable.

Ejemplo 2:

Determinar si la función \frac{x^2-9}{x^2-7x+12} es continua o discontinua.

El denominador es x^2-7x+12 que se anula para dos valores de x. Para averiguarlos se debe hallar las raíces de la función cuadrática x^2-7x+12

\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_1=4

x_2=3

Probamos con los dos valores hallando el límite. Para x_1=3

\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x^2-7x+12}

Desarrollamos el producto notable y el trinomio:

\lim_{x\to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{(x-4)(x-3)}

\lim_{x\to 3}\frac{(x+3)}{(x-4)}

\frac{(3+3)}{(3-4)}=\frac{6}{-1}=-6 El límite es distinto al punto singular luego hay discontinuidad evitable.

Ahora probamos con los dos valores hallando el límite. Para x_2=4

\lim_{x\to 4}\frac{x^2-9}{x^2-7x+12}

Desarrollamos el producto notable y el trinomio:

\lim_{x\to 4}\frac{(x+3)(x-3)}{(x-4)(x-3)}

\lim_{x\to 4}\frac{(x+3)}{(x-4)}

\frac{(4+3)}{(4-4)}=\frac{7}{0} El límite no existe, la función es discontinua.

ESTO SIGNIFICA QUE LA FUNCIÓN \frac{x^2-9}{x^2-7x+12} ES DISCONTINUA.

Ejemplo 3:

Sea la función f( x)=2\frac{x^2-x}{x-1}.

Mostrar que presenta una discontinuidad evitable para x=1

Solución:

Si x=1,\, f(1) no está definida. Para x\neq 1,\, f( x)=2\frac{x^2-x}{x-1} se tiene que:

\lim_{x\to 1}2\frac{x^2-x}{x-1}=\,\lim_{x\to 1}2\frac{x(x-1)}{(x-1)}=\,\lim_{x\to 1}2x, por tanto, \lim_{x\to 1}f( x)=2

Como existe este límite pero no existe f(1), la función tiene una discontinuidadevitable en x=1.

Luego: redefinimos f( x)\, para\, x=1. Definimos f(1)=2 y convertimos la función f en una función continua.

Redefinición:

f( x)=\displaystyle{\Large\left\{{2\frac{x^2-x}{x-1},\, x\neq 1\atop 2,\, x=1

PREGUNTA: La discontinuidad es la función f(x)=2 \frac{x^2-x}{x-1} es?

Concepto de la derivada

La derivada es uno de los conceptos más importantes en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Entonces como vimos anteriormente se define como:

m=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Observemos la siguiente gráfica para determinar qué significa cada uno de éstos términos de la fórmula anterior:

1

En este caso llamamos f(x+ \Delta x)-f(x)=f(a+h)-f(a) y a \Delta x=h

La derivada de una función f(x) se puede denotar de varias formas:

f'(x),y'(x),Df(x),Dy(x),\frac{df(x)}{dx},\frac{dy(x)}{dx}, etc.

La notación que utilizaremos para continuar con el curso será f'(x)

PREGUNTA: Derivada de una función es lo mismo que decir:

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN

Ahora, simplificaremos el procedimiento para determinar la pendiente de la recta tangente a un punto o llamada DERIVADA.

Aplicar la fórmula de límite para obtener la derivada de una función resulta extenso y tedioso, así que veremos que existen fórmulas definidas, exactas y sencillas para obtener de forma directa la derivada de una función sea una función constante, un producto de funciones, un cociente de funciones, etc.

FORMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN: Imprimir recurso word: Derivadas comunes 

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

Sea f(x)=a

Donde a es un valor constante (Número real).

Su derivada se define como:

 f'(x)=0

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x)=5

f'(x)=0

DERIVADA DE UNA POTENCIA

Sea f(x)=x^n

Su derivada se define como:

f'(x)=n*x^{n-1}

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x)=x^3

f'(x)=3*x^{3-1}

f'(x)=3*x^{2}

f'(x)=3x^2

PREGUNTA: La derivada de la función f(x)=x^{10} es:

a) F’(x)=x9      b) F'(x)=9x9   c) F'(x)=9x10   d) F'(x)=10x9

DERIVADA DE SUMA Y RESTA DE FUNCIONES

Cuando tenemos funciones formadas por la suma o resta de dos o más términos, debemos determinar la derivada de cada uno de sus términos y expresar en la mínima expresión posible.

Matemáticamente tenemos que:

Si f(x)=g(x)\pm h(x) entonces f '(x)= g '(x)\pm h'(x)

Ejemplo: Hallar la derivada de f(x)=(2x-3x^2)(3+4x)

Este ejercicio se puede desarrollar de dos formas:

1. Como un producto directamente.

f'(x)=g'(x).h(x)+g(x)h'(x)

f(x)=(2x-3x^2)(3+4x)

f'(x)=(2-6x).(3+4x)+ (2x-3x^2)(4)

f'(x)=(6+8x-18x-24x^2)+(8x-12x^2)

f'(x)=6-2x-36x^2

2. Desarrollando la multiplicación de los factores y luego como suma de términos.

f(x)=(2x-3x^2)(3+4x)

f(x)=6x+8x^2-9x^2-12x^3

f'(x)= (6+16x-18x-36x^2)

f'(x)= 6-2x-36x^2

Puedes escoger el método que se te facilite aplicar.

PREGUNTA: Calcula la derivada de f(x)=3x^5+2x^4+x^3+6

a) f'(x)=5x2+3x3+4x2 b) f'(x)=5x4+x3+3x2 c) f'(x)=15x4+8x3+3x2 d) f'(x)=5x5+4x3+2x2

DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES (MULTIPLICACIÓN)

La derivada de un producto es igual a la derivada del primer factor por el segundo, más la derivada del segundo factor por el primero.

Matemáticamente tenemos:

f(x)=g(x).h(x)

f'(x)=g'(x).h(x)+g(x)h'(x)

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x)=4x^2

Esta función la podemos escribir como producto de funciones de la siguiente manera:

f(x)= 4*x^2

f'(x)=(0 *x^2)+(4*2x)

f'(x)=(0 )+(8x)

 f'(x)= 8x

PREGUNTA: Cuál es la derivada de la función f(x)=\frac{1}{4}x^{5}

a) f'(x)=4/5x5 b) f'(x)=5/4x4  c) f'(x)=5/4x5 d) f'(x)=5/4x5

DERIVADA DE COCIENTE DE FUNCIONES (DIVISIÓN)

La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido todo entre el cuadrado del denominador.

Expresado matemáticamente tenemos:

f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f'(x)=\frac{g'(x).h(x)-g(x).h'(x)}{[h(x)]^2}

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x)=\frac { 5x^2}{2x^5}

f'(x)=\frac{(10x.2x^5)-(5x^2.10x^4)}{(2x^5)^2}

f'(x)=\frac{(20x^6)-(50x^6)}{4x^10}

f'(x)=\frac{(-30x^6)}{4x^10}

f'(x)=\frac{(-15x^6)}{2x^10}

f'(x)=\frac{-15}{2x^4}

Este procedimiento también se puede realizar como derivada de un producto si lo expresamos de la forma g(x).[h(x)]^{-1}

PREGUNTA: La derivada de la función f(x)=\frac{10x^{20}}{5x^{10}} es:

a) f'(x)=20/5x9  b) f'(x)=100x9  c) f'(x)=20x9   d) f'(x)=100/9x9

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar la derivada de esta nueva función. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior, que consiste en derivar el resultado de una derivación anterior.

La notación que utilizaremos para denotar derivadas de orden superior es:

Primera derivada f’(x)

Segunda derivada f"(x)

Tercera derivada es f’’’(x)

Cuarta derivada f(4)(x) y así sucesivamente.

Ejemplo: Hallar la tercera derivada de la función f(x)=6x3-5x2

f'(x)=18x^2-10x

f''(x)=36x-10

f'''(x)=36

Las derivadas de orden superior también son útiles en la física, cuando deseamos indagar acerca del movimiento de un objeto y obtener una medida de variación, que se logra comparando las distancias recorridas con los tiempos invertidos.

Si podemos obtener la función del desplazamiento de una partícula en función del tiempo, podemos derivar el desplazamiento respecto al tiempo para obtener la velocidad, y derivar la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración de dicha partícula.

Ejemplo: El desplazamiento de una partícula está dado por la función f(t)=-16t^2+100. Determinar su velocidad y aceleración en t=2seg.

Aplicando derivadas de orden superior obtenemos:

Velocidad= v=f'(t)=-32t

Aceleración= a=f''(t)=-32

Ahora ya podemos determinar éstas variables en un instante dado. Si t=2seg entonces:

Su aceleración será -32\frac { m}{s^2} como es negativa decimos que es desaceleración, o sea que está deteniendo la partícula.

Su velocidad en t=2seg es -32(2)=-64\frac{m}{s} como es negativa significa que está disminuyendo la velocidad, nuevamente vemos que está frenando.

Y su desplazamiento está dado por f(2) =-16(2)^2+100=64+100=164m.

PREGUNTA: ¿Cuál es la velocidad de un automóvil que viaja de una ciudad A a una ciudad B, cuya ecuación de su desplazamiento está dada por S=3t^3+2t^2+5 en el instante t=1seg?

a) v=6m/s  b) v=5m/s  c) v=13m/s  d) v=18m/s

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Recordemos que las funciones trigonométricas son seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan), cotangente (Ctg), secante (Sec) y cosecante (Csc).

De igual forma que tenemos reglas básicas de derivación cuyas fórmulas están definidas, para estas funciones también tenemos definidas sus derivadas inmediatas:

 

FUNCIÓN TRIGONOMETRICA

DERIVADA

f(x)=Sen(x)

f'(x)= Cos(x)

f(x)=Cos(x)

f'(x)=-Sen(x)

f(x)=Tan(x)

f'(x)=Sec^2(x)=\frac{1}{Cos^2(x)}=1+Tan^2(x)

f(x)=Ctg(x)

f'(x)=-Csc^2(x)

f(x)=Sec(x)

f'(x)=Sec(x)*Tan(x)

f(x)=Csc(x)

f'(x)=-Csc(x)*Ctg(x)

Nótese que las funciones trigonométricas tienen entre paréntesis el ángulo, no se debe confundir con una multiplicación de una variable por una función trigonométrica como por ejemplo x*Cos(x).

PREGUNTA: Hallar la derivada de la función h(x)=xTan(x)

Nota: No olvides que debes aplicar derivada de un producto.

a) h'(x)=tanx+xsecx  b) h'(x)=tanx+xcsc2x c) h'(x)=cotanx+xsecx   d) h'(x)=tanx+xsec2x

REGLA DE LA CADENA O DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

La regla de la cadena se utiliza cuando queremos derivar una composición de funciones.

Si f es diferenciable en x y g es una función diferenciable en f(x), entonces la función (f\circle g)(x)=f(g(x)) es diferenciable en x.

Matemáticamente se describe:

(f\circle g) ' =(f '\circle g)g'

Ejemplo 1: Derivar la función y=(x^2+3)^2

Debemos diferenciar siempre la operación más EXTERNA de la función (función elevada al cuadrado):

(f(x)) 2

(x 2 +3) 2

y la operación más interna de la función (adición de términos):

( x 2 +3 ) 2

1. Primero desarrollamos la derivada de la operación más externa que afecta la función, en este caso derivada de una potencia:

2 (x 2 +3) 1

2 (x 2 +3)

2. Desarrollamos la derivada interna y multiplicamos a la derivada externa, en este caso suma términos variable con potencia y término independiente:

y '= 2(x 2 +3)( 2x+0 )

3. Expresamos el resultado realizando las operaciones pertinentes.

y '= 4x^3+12x

Ejemplo 2: Derivar la función y=Tan^3(x)

Expresemos la función de una forma más entendible e identificable:

y=(Tan\ (x))^3

Ahora comencemos la aplicación de la regla de la cadena:

1. Primero desarrollamos la derivada de la operación más externa que afecta la función, en este caso derivada de una potencia:

3 (Tan(x))2

2. Desarrollamos la derivada interna y multiplicamos a la derivada externa, en este caso suma términos variable con potencia y término independiente:

3(Tan(x)) 2 * sec^2(x)

3. Expresamos el resultado realizando las operaciones pertinentes.

y '= 3(Tan^2(x))*sec^2(x) 

Vídeo para profundizar:

 

PREGUNTA: La derivada de la función y=x\ Sec^2\ (x) es:

Nota: No olvides la regla de derivación de productos, regla de la cadena y factorización hasta la mínima expresión para solucionar este ejercicio.

a) xTan2(x)  b) Sec2(x)(1+2xTan(x))  c) xSec2(x)+Tan (x)  d) Sec2(x)+Tan(x)

Derivación implícita

FUNCIONES IMPLÍCITAS

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada.Es decir que la relación entre x y y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x=1

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x y dejaremos y.

Ejemplo 1:

6x-2y=0

1. Derivamos entonces cada uno de los miembros:

6-2y^{\prime}=0

2. Ahora despejamos y^{\prime}

y^{\prime}=\frac{-6}{-2}

y^{\prime}=3

Ejemplo 2:

x^2+y^2-7=0

1. Derivamos cada término en forma individual:

2x+2yy^{\prime}-0=0 Recordemos que y^2 es lo mismo que decir y*y

2. Despejamos y^{\prime}

y^{\prime}=\frac{-2x}{2y}

y^{\prime}=\frac{-x}{y}

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

Derivación implicita

Ejemplo 3:

sec^2\ x+csc^2\ y=0

Aplicamos la fórmula teniendo en cuenta la regla de la cadena, si es aplicable, en cada función:

Derivación implicita

y´=\frac{-(2sec x*sec x*tan x)}{-2csc y*csc y*cot y}

y´=\frac{sec^2 x*tan x}{csc^2 y*cot y}

Observemos que en todos los ejemplos las funciones están igualadas a 0. Este requisito es primordial.


Vídeo para profundizar:

PREGUNTA: Calcular la derivada de la ecuación: y^3 + y^2 + y - x^2 =0

a) y'=x2 /6y2+2y+10  b) y'=2x / 3y2+2y+1  c) y'=x / 3y2+2y+10  d) y'=2x / 2y2+3y+1

REGLA DE L’HOPITAL

Dadas dos funciones f (x) y g (x) continuas y derivables en x=c , si f (x) y g (x) tienden ambas a cero o a infinito cuando x tiende a c , entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f (x) y g (x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito)

Expresado matemáticamente:

Si \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0} ó

\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}

Entonces aplicamos la regla de L’hopital:

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Esto significa que tomamos numerador y denominador y derivamos por separado.

Ejemplo:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{sen\ (x)}

\lim_{x \to 0} \frac{e^0-e^{-0}}{sen\ (0)}

\lim_{x \to 0} \frac{1-1}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{0}{0}

Aplicamos la regla de L’hopital al límite original:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{sen\ (x)}

Derivamos tanto numerador como denominador

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-1)e^{-x}}{cos\ (x)}

\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}}{cos\ (x)}

\lim_{x \to 0} \frac{e^0+e^{-0}}{cos\ (0)}

\lim_{x \to 0} \frac{1+1}{1}

\lim_{x \to 0} \frac{2}{1}

\lim_{x \to 0}=2

PREGUNTA:

Dadas las funciones f(x)=cos(x)-1 y g(x)=sen(x)+(x)cos(x) aplicar la regla de L'HOPITAL

¿el valor del límite es?: a) 0 b) 1 c) -1  d) 2

Primitivas de una función

Dadas dos funciones f(x) y (x), definidas en un intervalo I=[a,b], diremos que F(x) es una

función primitiva de (x) si la derivada de F(x) es la función f(x) en el intervalo I.



Ejemplo 1:

Si tenemos la función F(x) = x^2

Entonces f(x)=2x

Significa que x^2 es primitiva de 2x.


¿Cuántas primitivas puede tener una función?

Una función cualquiera admite infinitas primitivas. Dos funciones son primitivas de una misma función.


si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva (C).

Es decir, si F(x) y G(x) son primitivas de f(x) , entonces existe un número real C, tal que

F(x)=G(x) +C

PREGUNTA:

Hallar la primitiva de la función f(x) = 3 x^2 -2x+4

Sugerencia: Verifica que la respuesta que escoges es la correcta, derivándola.

a) F(x)=x3-x2+4x  b) F(x)=3x3-2x2+4x+c  c) F(x)=x3-x2+4x+c d) F(x)=6x-2

INTEGRAL INDEFINIDA

En la lección anterior vimos el concepto de la primitiva de una función. Esta función primitiva es la que llamamos integral.

Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación.

La integral es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas debajo de curvas o rectas. En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se hacía en el cálculo de derivadas.

La notación que utilizaremos para referirnos a dicha primitiva o antiderivada, como también se conoce será:

\int f(x)dx=F(x)+C

Las fórmulas de integración, al igual que en la derivación están definidas:                  

                                                                                1.      \int n=nx

1

Ejemplo: Hallar la integral de la función f(x)=3x^2

Aplicando la fórmula de integración número 1 y 2 se tiene:

\frac{3x^{2+1}}{2+1}

\frac{3x^{3}}{3}

x^3+C

PREGUNTA: Cual es la integral de la función f(x)=3x^3

a) -3x2/2+C  b) 3x2/2+C  c) 3x3/3+C  d) 3x4/4+C

INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN

CASO 1: Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables entonces: La integral de una suma o resta de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x) dx

Ejemplo: Hallar la integral de la función f(x)=3x^2+6x+4dx

\int (3x^2+6x+4)dx

Aplicando la fórmula de integración número 1y 2 se tiene:

\frac{3x^{2+1}}{2+1}+\frac{6x^{1+1}}{1+1}+\frac{4x^{0+1}}{0+1}

\frac{3x^{3}}{3}+\frac{6x^{2}}{2}+\frac{4x{1}}{1}

x^3+3x^2+4x+C

CASO 2:

Si f(x) es una función integrable y a \epsilon \mathbb{R}: La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

\int af(x)dx=a \int f(x)dx

PREGUNTA: Halla por medio de la descomposición la expresión \int (2x^3-x^2+3x+7)dx

a) 2/4x4-1/3x3+3/2x2+7x+c

b) 4x4-3x3+3/2x2+7x+c

c) 1/4x4-1/3x2+3/2x2+7x+c

d) 2/4x3-1/3x2+3/2x+7

INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas debajo de curvas o rectas en un intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b].

Se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b y se denota como:

\int_a^b f(x)d(x) = f(b)-f(a)

1

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

· Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

· Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

· La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

· La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

· Al cambiar (invertir) los límites de una integral, ésta cambia de signo.

· Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que:

1

· Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

1

Ejemplo:

Hallar la integral de la función f(x)=3x^2+6x+4 en el intervalo [3,5]

\int_a^b (3x^2+6x+4)dx

Aplicando la fórmula de integración se tiene:

\int_3^5 (3x^2)dx+ \int_3^5 (6x)dx+ \int_3^5 (4)dx

x^3\mid_3^5\ +\frac{6x^2}{2}\mid_3^5+ 4x \mid_3^5

Ahora remplazamos por los valores del intervalo:

(5^3-3^3)+(\frac{1}{2}6(5)^2- \frac{1}{2}6(3)^2)+(4(5)-(4(3)

(125-27)+(\frac{150}{2}-\frac{54}{2})+(20-12)

(98)+(48)+(8)=154

PREGUNTA: Cuál es el valor del área bajo la curva de la función f(x)=x^2+3x+1 comprendida en el intervalo (-1,2)

a) 21/2  b) -51/2 c) 51/2 d) -21/2

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE INTEGRALES

EJEMPLO PRACTICO 1:

Hallar el área del trapecio determinado por la recta de ecuación y=x+1, el eje OX, la recta x=0 y x=1. Calcular esta área geométricamente y comprobar que coincide con el valor de la integral definida \int_0^1 (x+1)dx

=0=01

Geométricamente tenemos un trapecio: Si observamos está formado por un cuadrado de base 1 y altura 1, y un rectángulo de base 1 y altura 1. El Área de un cuadrado se define por A=base*altura y la del triangulo A=(base*altura)/2. Por tanto tenemos que el área del trapecio es:

A=1*1+\frac{1*1}{2}

A=1+\frac{1}{2}

A=\frac{3}{2}

Ahora comprobaremos por medio de la aplicación de la integral:

\int_0^1(x+1)dx

\frac{x^2}{2}\mid_0^1+x\mid_0^1

(\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2})+(1^2-0^2)

(\frac{1}{2}-0)+(1-0)

\frac{1}{2}+(1)

A=\frac{3}{2}

EJEMPLO PRACTICO 2:

Determinar el área del recinto limitado por las curvas f(x)=x^3-3x+8 y g(x)=-3x en el intervalo [-3,0].

Realizamos la gráfica de cada una de las funciones sobre el mismo plano:

1

Se puede observar que el área bajo la curva se debe determinar sumando las dos áreas que resultan en la gráfica en los intervalos [-3,-2] y [-2,0].

Al plantear debemos tener en cuenta cual función limita por arriba el área a determinar y cual la limita por debajo.

Entonces:

En el intervalo [-3,-2] la función que limita por encima al área es g(x)=-3x y por debajo la limita f(x)=x^3-3x+8.

Sin embargo, en el intervalo [-2,0] la región está limitada superiormente por la función f(x)=x^3-3x+8 e inferiormente por la función g(x)=-3x

Entonces planteamos:

\int_{-3}^{-2} g(x)-f(x)dx + \int_{-2}^0 f(x)-g(x)dx

\int_{-3}^{-2} (-3x)-(x^3-3x+8)dx + \int_{-2}^0(x^3-3x+8)-(-3x)dx

\int_{-3}^{-2} (-x^3-8)dx + \int_{-2}^0(x^3+8)dx

PREGUNTA: Cuál es el valor de la integral o área bajo la curva del ejercicio práctico 2 de ésta lección:

a) 20.25  b) 32.35 c) 15.22  d) 17.25

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